我看到一些类似的问题:
> Generate permutation matrix from permutation vector
> https://math.stackexchange.com/questions/345166/what-is-the-name-for-a-non-square-permutation-matrix
给定元素:
elems = [1,2,3,4] # dimensions 1x4
如果我有一个矢量:
M = [4,2,3,1] # dimensions 1x4
我知道有一些置换矩阵p我可以乘以elems * p = M,在这种情况下将是:
p =
[
0 0 0 1
0 1 0 0
0 0 1 0
1 0 0 0
] # dimensions 4x4
# eg:
# elems * P = M
1x4 4x4 = 1x4
现在,对于我的问题,我感兴趣的是当M是非矢量非方矩阵时的情况,例如:
M' = [
4 2 3 1
4 3 2 1
1 2 3 4
] # dimensions 3x4
对于相同的
elems' = [
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
] # where this is now tripled to be conformant dimensions
# dimensions 3x4
#
# meaning P is still 4x4
您可以看到M_prime和elems_prime在这种情况下仍然只是排列,但现在是多变量,而不是最初的单个向量.
我知道我不能做下面这样的事情,因为矩阵不是方形的,因此不可逆:
elems' * P = M'
P = elems'^-1 * M'
# eg:
# elems' * P = M'
3x4 4x4 = 3x4
当我尝试时,至少在R中,我看到:
> P <- ginv(elems_prime) %*% M_prime
[,1] [,2] [,3] [,4]
[1,] 0.1 0.07777778 0.08888889 0.06666667
[2,] 0.2 0.15555556 0.17777778 0.13333333
[3,] 0.3 0.23333333 0.26666667 0.20000000
[4,] 0.4 0.31111111 0.35555556 0.26666667
这会让我回到M’吗?
> elems_prime %*% P
[,1] [,2] [,3] [,4]
[1,] 3 2.333333 2.666667 2
[2,] 3 2.333333 2.666667 2
[3,] 3 2.333333 2.666667 2
!= M' # No, does not.
所以这不对.
我的问题是:
>什么是正确的P才能正确地置换元素的矩阵
进入M’矩阵?
>找到它的算法名称是什么?
(在R,Haskell或伪代码中实现很棒)
>有没有办法将P的值限制为整数,最好是0或1?
对于R再现性
> dput(elems_prime)
structure(c(1, 1, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4), .Dim = 3:4)
> dput(M_prime)
structure(c(4, 4, 1, 2, 3, 2, 3, 2, 3, 1, 1, 4), .Dim = 3:4)
最佳答案 请注意,M’的列空间的顺序高于elem’的列空间.这意味着不存在从elem’到M’的线性映射,因为线性映射不能增加矩阵的行或列空间(有用的是将其视为基础的变换).
由此得出,由elem’* P生成的任何M’可以具有至多1的等级,仅留下传统的置换矩阵作为P’的候选者.
如果我们看一下从M’回到elem,这是一个完全不同的问题,这种不对称性也值得注意.