算法 – 在Haskell中记忆的最有效方法是什么？

2023年11月25日 157次阅读

在
Haskell中记忆递归函数的最快方法是什么？

背景：最近我一直在Haskell中解决Project Euler问题.许多需要许多递归定义的组合或数理论函数的计算,例如斐波那契数.如果这些函数被记忆,性能会大大提高,也就是说,函数的结果会被缓存以供以后使用.

我已经看到很多解决这个问题的方法.最优雅的似乎是this. One使用Data.IntMap(或哈希表)和State monad.基于树的解决方案在this answer中提出,这种解决方案似乎相当普遍.再举一个例子,见this blog post.我见过其他使用内置函数的解决方案.第2节here中有一个修复,而且似乎编译器有时可以是massaged into memoizing而无需额外的工作.还有几个prebuilt solutions.

我想知道哪种memoization方法在Project Euler中使用的各种函数的实践中最快.我的直觉说哈希表库是,因为哈希表似乎是命令式语言中首选的字典结构.纯功能树解决方案很酷,但我的谷歌搜索告诉我他们是strictly worse than hash tables in terms of asymptotic performance.

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一些评论说这个问题太宽泛而无法回答,经过反思我同意.因此,让我给出两个具体的memoize函数示例：一个递归计算第n个Fibonacci数的函数,以及一个递归计算加泰罗尼亚数的函数.我想为大n计算这些函数很多次.

我知道这些有明确的公式,但让我们忽略它,因为这里的真正要点是使用它们来记录备忘录技术.

最佳答案 当试图找到第n个斐波那契数时,你需要记住的唯一数字是前两个数字.你可以像(f n-1,f n)这样的元组,并在每个循环上更新这个元组.请注意,更新元组是通过指针操作完成的,并且计算成本不高.

一个更清洁,更智能的替代方案是：

fibs :: [Integer]
fibs = fibcreator 0 1
  where
    fibcreator a b = a : fibcreator b (a+b)

nth = take n fibs

但我见过的最好的算法之一是：

>让我们定义矩阵m = [e11 = 1,e12 = 1,e21 = 1,e22 = 0]
>得到第n个斐波那契数,我们计算m’= m ^(n-1)
矩阵m’中的e11元素是第n个斐波纳契数

现在最棒的是,为了获得17个斐波纳契数,我们可以做到

m' = ((((m^2)^2)^2)^2) * m

这显着减少了计算时间并被动地将记忆嵌入算法中.
重点是Haskell已经使用这种算法来计算幂函数,因此您不需要实现它.完整的实施是：

data Matrix = Matrix Integer Integer Integer Integer

instance Num Matrix where
  (*) (Matrix a11 a12 a21 a22) (Matrix b11 b12 b21 b22)
   = Matrix (a11*b11 + a12*b21) (a11*b12 + a12*b22) (a21*b11 + a22*b21) (a21*b12 + a22*b22)

fib4 :: Integer -> Integer
fib4 0 = 0
fib4 n = x
  where
    (Matrix x _ _ _) = Matrix 1 1 1 0 ^ (n-1)
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