algorithm – 少于3次乘法的两个复数的乘积

2023年6月2日 405次阅读

有人可以为我打破这个吗？为什么不能在两次乘法中完成？

复数的乘法

如果计算所需的乘法次数被视为其难度的度量,并且这些计算是使用复数进行的,那么很自然地要问有多少实数乘法是必要的.
评估复杂产品的实部和虚部.自然
形成复杂产品的方式需要四次实际乘法.
然而,它可以在三次但不是两次乘法中完成.

(a+bi)(c+di) = (ac-bd) + (ad+bc)i

a(c+d) - d(a+b) = ac - bd
 (1)      (2)

a(c+d) + c(b-a) = ad + bc
          (3)

定理 – 对两个复数乘积的求值需要三次实数乘法,即使不计算乘以实数常数也是如此.

证明草图由于复数乘法的实部和复数部分都不能在一个实数乘法中确定,如果这个计算可以在两次乘法中完成,那么将对Ci,Wi,Xi,Yi和Zi进行一些选择.以下列方式.

ac - bd = C₁(W₁a+X₁b+Y₁c+Z₁d)
            (W₂a+X₂b+Y₂c+Z₂d)
        + C₂(W₃a+X₃b+Y₃c+Z₃d)
            (W₄a+X₄b+Y₄c+Z₄d)
ad + bc = C₃(W₁a+X₁b+Y₁c+Z₁d)
            (W₂a+X₂b+Y₂c+Z₂d)
        + C₄(W₃a+X₃b+Y₃c+Z₃d)
            (W₄a+X₄b+Y₄c+Z₄d)

这导致20个未知数的20个非线性方程,Ci,Wi,Xi,Yi和Zi,其中(i = 1,2,3,4),没有真正的解,因此没有办法执行复杂乘以两次实数乘法

资源：

门罗,伊恩. “40-44”. http://dl.acm.org/. Proc.第三届年度ACM计算机理论研讨会论文集,俄亥俄州,Shaker Heights.埃德. Michael A. Harrison,Ranan B. Banerji和Jeffrey D. Ullman. Acm,1971年5月3日.网站. 2016年11月26日.http://dl.acm.org/citation.cfm?doid=800157.805036.

最佳答案 所以,这里证明的定理基本上是,“即使你可以按照自己喜欢的方式进行尽可能多的加法,减法和乘法运算,但如果不做至少三次,你就无法计算ac-bd和ad bc乘法-的两类非预定-量“.

(注意：此后,我将“两个非预定数量的乘法”缩写为“MNPQ(s)”.)

证明开始时指出,您当然无法使用单个MNPQ计算{ac-bd,ad bc}中的任何一个.因此,只使用两个MNPQ计算两者的唯一方法就是如果你能够以{ac-bd,ad bc}两种方式同时“共享”那些MNPQ.

顺便提一下,证明依赖于未说明的前提,即如果你所有的都是加法,减法和乘法 – 按预定常数,那么最终你所做的任何事情都只相当于你输入的线性组合. (你知道为什么吗？)所以这两个MNPQ都是{a,b,c,d}的线性组合的乘法,你“分享”他们的结果的方式将是{ac-bd,ad bc}这些MNPQ的结果是两种不同的线性组合. (完整的证据需要更彻底的论证,关于一个MNPQ的结果可能是另一个的争论的可能性,以及最终的线性组合不仅包含MNPQ的结果而且包括{a, b,c,d};但这只标有“证明草图”,所以我想它不必担心这些事情.)

如果接受这个前提,那么我们可以将两个MNPQ写为(W 1 a X 1b Y 1c Z 1d)·(W 2 a X 2b Y 2c Z 2d)和(W 3 a x 3b Y 3c Z 3d)·(W 4 a X 4b Y 4c Z 4d),以及它们的两个线性组合(ac- bd和ad bc)为C 1(MNPQ)1 C 2(MNPQ)2和C 3(MNPQ)3 C 4(MNPQ)4.如果你然后将所有东西相乘,你得到一个方程系统来解决 – 未知数要解决为魔法常数W 1,X 2,C 3等 – 除了,事实证明,这个方程组实际上没有解.因此,没有一组魔法常量能够实现这种方法,因此这种方法是不可能的,因此您需要执行至少三个MNPQ才能计算ac-bd和ad bc.

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