算法 – 给定一个带有自循环的有向加权图,找到与给定节点x完全相距k dist的节点列表？

2023年9月26日 208次阅读

图中的每个边都具有1的权重.图可以具有周期,如果节点具有自循环,则它可以是从0到无穷大的任何距离,具体取决于编号.我们采取自我循环的时间.

我已经使用bfs解决了这个问题,但是对距离的约束是10 ^ 9的顺序,因此bfs很慢.

我们将在表单的给定图表上询问多个查询
(距离,来源)
o / p是从源顶点开始精确位于给定距离的节点列表.

约束

1<=Nodes<=500
1<queries<=500
1<=distance<=10^9

我有一种感觉,会有很多重复的计算作为没有.节点很小,但我无法弄清楚如何在较小的问题中减少问题.

有效的方法是什么？

编辑：我已经尝试过使用矩阵求幂,但对于给定的约束,它太慢了.问题的时间限制为1秒.

最佳答案 设G =(V,E)为图形,并定义邻接矩阵A,如下所示：

A[i][j] = 1       (V[i],V[j]) is in E
          0       otherwise

在这个矩阵中,对于每个k：

(A^k)[i][j] > 0 if and only if there is a path from v[i] to v[j] of length exactly k.

这意味着通过创建此矩阵然后计算指数,您可以轻松获得答案.

对于快速指数计算,您可以使用exponent by squaring,这将产生O(M(n)^ log(k)),其中M(n)是nXn矩阵的cost for matrix multiplication.

在同一图表上查找不同的查询时,这也可以节省一些计算.

附录 – 索赔证明：

基数：A ^ 1 = A,实际上在A中,根据定义,A [i] [j] = 1当且仅当(V [i],V [j])在E中时

假设：假设所有l< k的索赔都是正确的 A ^ k = A ^(k-1)* A.从归纳假设,A ^(k-1)[i] [j]> 0如果存在从V [i]到V [j]的长度为k-1的路径.

让我们检查具有索引i和j的两个顶点v1,v2.
如果它们之间存在长度为k的路径,则将其设为v1-> …-> u-> v2.设u的指数为m.
来自i.h. A ^(k-1)[i] [m]> 0因为有路径.另外A [m] [j] = 1,因为(u,v2)=(V [m],V [j])是边.

A^k[i][j] = A^(k-1)*A[i][j] = A^(k-1)[i][1]A[1][j] + ... + A^(k-1)[i][m]A[m][j] + ... + A^(k-1)[i][n]A[n][j]

并且因为A [m] [j]> 0和A ^(k-1)[i] [m]> 0,则A ^(k-1)* A [i] [j]> 0

如果没有这样的路径,则对于每个顶点u使得(u,v2)是边缘,没有从v到u的长度为k-1的路径(其他为v1-> ..-> u-> ; v2是长度为k)的路径.

然后,使用归纳假设我们知道如果A ^(k-1)[i] [m]>对于所有m,0然后A [m] [j] = 0.
如果我们在定义A ^ k [i] [j]的和中分配它,我们得到A ^ k [i] [j] = 0

QED

小注释：从技术上讲,A ^ k [i] [j]是i和j之间的路径数,长度恰好为k.这可以证明与上面类似,但更多地关注细节.
为了避免数字增长太快(这会增加M(n),因为你可能需要大整数来存储该值),并且因为你不关心0/1以外的值 – 你可以将矩阵视为布尔值 – 仅使用0/1值并修剪其他任何值.

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