LeetCode | Sqrt(x)

2024年1月31日 308次阅读


Implement int sqrt(int x).

题目解析：

求开方根，只是求解整数，比较容易，如果求解double类型的，就要考虑精度问题。

题型一：求整数根

先讲解求解整数根的情况。

题目简单，可以直接让i从0…x的增加，比如要能取到x不然，x为2的时候，根据实现会报错。某些时候也可以更精确到x/2。但由于是递增，不用考虑那么详细。

不过这里会碰到问题，就是越界的问题，有些时候，用long long都不好用，还得用unsigned long long才行，如下面：

方案一：

采用二分法：

int sqrt(int x) {
        // Start typing your C/C++ solution below
        // DO NOT write int main() function
        unsigned long long begin = 0;
        unsigned long long end = (x+1)/2;
        unsigned long long mid;
        unsigned long long tmp;
        while(begin < end)
        {
            mid = begin + (end-begin)/2;
            tmp = mid*mid;
            if(tmp==x)return mid;
            else if(tmp<x) begin = mid+1;
            else end = mid-1;
        }
        tmp = end*end;
        if(tmp > x)
            return end-1;
        else
            return end;
    }

方案二：

但是为什么非要用相乘呢？通过判断mid > x/mid等条件也能得到相应答案。这样就避免了大数相乘的问题。代码如下：

class Solution {
public:
    int sqrt(int x) {
        if(x < 0)
            return -1;
        if(x==0 || x==1)
            return x;
        for(int i = 1;i <= x;i++){
            if(i == x/i){
                return i;
            }else if(i > x/i)
                return i-1;
        }
    }
};

这个方法能很好的扩展到其他问题，应该记住。


方案三：

这就涉及到用几何问题去解决。但这个里面用double类型的数当中间值，来精确求解。

牛顿迭代法

《LeetCode | Sqrt(x)》
   为了方便理解，就先以本题为例：

   计算x2 = n的解，令f(x)=x2-n，相当于求解f(x)=0的解，如左图所示。

   首先取x0，如果x0不是解，做一个经过(x0,f(x0))这个点的切线，与x轴的交点为x1。

   同样的道理，如果x1不是解，做一个经过(x1,f(x1))这个点的切线，与x轴的交点为x2。

   以此类推。

   以这样的方式得到的xi会无限趋近于f(x)=0的解。

   判断xi是否是f(x)=0的解有两种方法：

   一是直接计算f(xi)的值判断是否为0，二是判断前后两个解xi和xi-1是否无限接近。

 

经过(xi, f(xi))这个点的切线方程为f(x) = f(xi) + f’(xi)(x – xi)，其中f'(x)为f(x)的导数，本题中为2x。令切线方程等于0，即可求出xi+1=xi – f(xi) / f'(xi)。

继续化简，xi+1=xi – (xi2 – n) / (2xi) = xi – xi / 2 + n / (2xi) = xi / 2 + n / 2xi = (xi + n/xi) / 2。

有了迭代公式xi+1= (xi + n/xi) / 2，程序就好写了。关于牛顿迭代法，可以参考wikipedia以及百度百科。

int sqrt(int x) {
		// Start typing your C/C++ solution below
        // DO NOT write int main() function
        if (x ==0)
            return 0;
        double pre;
        double cur = 1;
        do
        {
            pre = cur;
            cur = x / (2 * pre) + pre / 2.0;
        } while (abs(cur - pre) > 0.00001);
        return int(cur);
    }

题型二：double型平方根

方案一：

对于小数有个精度的问题，那么定义0.000001范围内就认为两个数相等。

public double sqrt(double x) {
	if (x < 0) return -1;
	double left  = 0;
	double right = (x < 1) ? 1 : x;
	double maxDiff = 0.000001;
	do {
		double mid = left + (right - left) / 2;
		if (Math.abs(x - mid * mid) <= maxDiff) {
			return mid;
		} else if (x - mid * mid < 0) {
			right = mid;
		} else {
			left = mid;
		}
	} while (true);
}

可以参考链接：
http://blog.csdn.net/maqingli87/article/details/8051610

里面有好几种方法。




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