考虑一组13名丹麦人,11名日本人和8名波兰人.众所周知,将这组人分组的不同方式的数量是13 11 8 = 32:贝尔数(设置分区的数量).但是,我们被要求在给定约束下找到可能的集合分区的数量.问题如下:
如果没有由至少两个仅包含单一国籍的人组成的小组,则称集合分区是好的.这个套装有多少个好的分区? (一组可能只包括一个人.)
蛮力方法需要经过大约10 ^ 26个分区并检查哪些分区是好的.这似乎是不可行的,特别是如果团体较大或一个人介绍其他国籍.有一种聪明的方式吗?
编辑:作为旁注.一个非常好的解决方案可能没有希望.一个备受尊敬的组合学专家answered一个相关的问题,我认为,基本上说相关问题,因此这个问题也很难准确解决.
最佳答案 这是使用动态编程的解决方案.
它从空集开始,然后一次添加一个元素并计算所有有效分区.
状态空间很大,但请注意,为了能够计算下一步,我们只需要了解以下内容:
>对于每个国籍,它包含的数量仅包含该国籍的一个成员. (例如:{a})
>它包含混合元素的集合数量. (例如:{a,b,c})
对于这些配置中的每一个,我只存储总计数.例:
[0, 1, 2, 2] -> 3
{a}{b}{c}{mixed}
e.g.: 3 partitions that look like: {b}, {c}, {c}, {a,c}, {b,c}
这是python中的代码:
import collections
from operator import mul
from fractions import Fraction
def nCk(n,k):
return int( reduce(mul, (Fraction(n-i, i+1) for i in range(k)), 1) )
def good_partitions(l):
n = len(l)
i = 0
prev = collections.defaultdict(int)
while l:
#any more from this kind?
if l[0] == 0:
l.pop(0)
i += 1
continue
l[0] -= 1
curr = collections.defaultdict(int)
for solution,total in prev.iteritems():
for idx,item in enumerate(solution):
my_solution = list(solution)
if idx == i:
# add element as a new set
my_solution[i] += 1
curr[tuple(my_solution)] += total
elif my_solution[idx]:
if idx != n:
# add to a set consisting of one element
# or merge into multiple sets that consist of one element
cnt = my_solution[idx]
c = cnt
while c > 0:
my_solution = list(solution)
my_solution[n] += 1
my_solution[idx] -= c
curr[tuple(my_solution)] += total * nCk(cnt, c)
c -= 1
else:
# add to a mixed set
cnt = my_solution[idx]
curr[tuple(my_solution)] += total * cnt
if not prev:
# one set with one element
lone = [0] * (n+1)
lone[i] = 1
curr[tuple(lone)] = 1
prev = curr
return sum(prev.values())
print good_partitions([1, 1, 1, 1]) # 15
print good_partitions([1, 1, 1, 1, 1]) # 52
print good_partitions([2, 1]) # 4
print good_partitions([13, 11, 8]) # 29811734589499214658370837
它为测试用例生成正确的值.我还针对蛮力解决方案(对于小值)测试它,并且它产生相同的结果.