在Python中规范后验分布的麻烦

2019年7月22日 203次阅读

我在一篇论文中编写了Dirichlet-Multinomial后验的推导,我读过这篇文章并且我无法将分布总和加到1.以下是未简化形式的代码：

def pcn(X, n, N, c, alpha):
    pnc = np.math.factorial(np.sum([n[i] for i in range(len(n))]))/ \
          np.product([np.math.factorial(n[i]) for i in range(len(n))])* \
          np.product([c[i]**n[i] for i in range(len(n))])
    pc = G(len(X)*alpha)/ \
         np.product([G(alpha) for i in range(len(n)) if i in X])* \
         np.product([(c[i])**(alpha - 1) for i in range(len(n)) if i in X])
    pn = np.math.factorial(N)/ \
         np.product([np.math.factorial(n[i]) for i in range(len(n)) if i in X])* \
         G(len(X)*alpha)/ \
         G(len(X)*alpha + N)* \
         np.product([G(alpha + n[i])/G(alpha) for i in range(len(n)) if i in X])
    return pnc

我在这里简化了删除分开的部分：

def pcns(X, n, N, c, alpha):
    pnc = np.product([c[i]**n[i] for i in range(len(n))])

    pc = np.product([(c[i])**(alpha - 1) for i in range(len(n))])/ \
         np.product([G(alpha) for i in range(len(n))])

    pn = np.product([G(alpha + n[i])/G(alpha) for i in range(len(n))])/ \
         G(len(X)*alpha + N)

    return pnc * pc / pn

我设置输入变量并初始化c的数组以输入：

X = [0,1]
n = [6.0, 3.0]
N = sum(n)
alpha = 20
c = np.linspace(0, 1, 1000)

然后我迭代c并在每个c和情节评估我的后验函数：

dist = []
for i in c:
    dist.append(pcns(X, n, N, [i, 1-i], alpha))

plt.plot(c,dist)

当我总结为dist时得到的值是999或len(c) – 1.有没有人碰巧知道为什么它不是1？

最佳答案 tl; dr：你正在计算一个定积分的离散近似,忘了将这些碎片乘以dx~ = delta_x.

即使这是一个正确归一化的概率分布,为什么dist总和为1？由于我们没有G,我无法准确再现您的结果,所以让我们考虑一个简单的高斯.我们可以将均值设置为0.5,将stddev设置为较小的值,因此0到1的范围应包含大部分概率：

>>> import scipy.stats
>>> c = np.linspace(0, 1, 1000)
>>> p = scipy.stats.norm(0.5,0.02).pdf(c)
>>> sum(p)
999.00000000000045

那又是999.但同样,为什么这应该是1？应该是1的数量是总的综合概率.这里我们只是在某些点上获取概率分布函数的值并将它们加在一起.

更简单的例子：我们知道x ^ 2从0到1的定积分是1/3,但是

>>> x = np.linspace(0, 1, 1000)
>>> sum(x**2)
333.50016683350009

当我们真正想要更像的东西时(粗略的矩形近似,略高于期望的答案,因为我们包括x = 1点的贡献,并且该框实际上超出了积分区域)：

>>> sum(x**2) * (x[1]-x[0])
0.3338340008343344

或者在你以前的情况

>>> sum(p) * (c[1]-c[0])
1.0000000000000004

注意,这里我们可以写*(c [1] -c [0]),因为c是等间距的,因此Int中的每个“dx”(p(x)dx)〜= sum(p [x] * delta_x)是一样的.一般来说,我们想要的更像sum(p [： – 1] * np.diff(c)).

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