python – 用奇异矩阵计算求解方程组

2019年7月21日 514次阅读

我有这个奇异的矩阵(我称之为A)

-3a          1         0    0
 3a    -2a - 1         2    0
 0      2a        -a-b-2    3
 0           0     a+b     -3

我试图解决Ax = 0,这样x中元素的总和是1.我想用a和b来解决x.我知道如何手动执行此操作(使用高斯消除来根据第四个组件编写所有组件,然后设置第四个组件以使解决方案规范化).但有没有办法以计算方式做到这一点？我可以在Python,Mathematica或R中做到这一点.(或者MATLAB,但我认为在MATLAB中没有办法做到这一点.)

我复制的代码是通过在矩阵中添加第五行来实现的,

1    1    1    1

然后使用QR分解找到最小二乘解.但是,我认为我不能这样做,因为我没有a和b的值,我想用a和b来解决这个问题.

最佳答案

In[1]:= A = {{-3a,1,0,0}, {3a,-2a-1,2,0}, {0,2a,-a-b-2,3}, {0,0,a+b,-3}};
x = {p, q, r, s};
sol = Reduce[A.x==0 && p+q+r+s==1 && Det[A]==0, x, Backsubstitution->True]

Out[3]= (1+3*a+3*a^2+a^3+a^2*b) != 0 && 
p == 1/(1+3*a+3*a^2+a^3+a^2*b) && 
q == (3*a)/(1+3*a+3*a^2+a^3+a^2*b) && 
r == (3*a^2)/(1+3*a+3*a^2+a^3+a^2*b) && 
s == (a^3 + a^2*b)/(1+3*a+3*a^2+a^3+a^2*b)

In[4]:= x=x/.ToRules[sol (* Watch out for that denominator!!! *)];
Simplify[A.x]

Out[5]= {0, 0, 0, 0}

In[6]:= Simplify[Total[x]]

Out[6]= 1
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