0 or 1

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Problem Description Given a n*n matrix C
_ij (1<=i,j<=n),We want to find a n*n matrix X
_ij (1<=i,j<=n),which is 0 or 1.

Besides,X
_ij meets the following conditions:

1.X
₁₂+X
₁₃+…X
_1n=1

2.X
_1n+X
_2n+…X
_n-1n=1

3.for each i (1<i<n), satisfies ∑X
_ki (1<=k<=n)=∑X
_ij (1<=j<=n).

For example, if n=4,we can get the following equality:

X
₁₂+X
₁₃+X
₁₄=1

X
₁₄+X
₂₄+X
₃₄=1

X
₁₂+X
₂₂+X
₃₂+X
₄₂=X
₂₁+X
₂₂+X
₂₃+X
₂₄

X
₁₃+X
₂₃+X
₃₃+X
₄₃=X
₃₁+X
₃₂+X
₃₃+X
₃₄

Now ,we want to know the minimum of ∑C
_ij*X
_ij(1<=i,j<=n) you can get.

Hint

For sample, X
₁₂=X
₂₄=1,all other X
_ij is 0.  

Input The input consists of multiple test cases (less than 35 case).

For each test case ,the first line contains one integer n (1<n<=300).

The next n lines, for each lines, each of which contains n integers, illustrating the matrix C, The j-th integer on i-th line is C
_ij(0<=C
_ij<=100000).  

Output For each case, output the minimum of ∑C
_ij*X
_ij you can get.  

Sample Input 4 1 2 4 10 2 0 1 1 2 2 0 5 6 3 1 2  

Sample Output 3  

Author Snow_storm  

Source
2012 Multi-University Training Contest 8  

Recommend zhuyuanchen520    

1001  (已更新)

显然，题目给的是一个0/1规划模型。

解题的关键在于如何看出这个模型的本质。

3个条件明显在刻画未知数之间的关系，从图论的角度思考问题，容易得到下面3个结论：

1.X12+X13+…X1n=1 于是1号节点的出度为1

2..X1n+X2n+…Xn-1n=1 于是n号节点的入度为1

3.∑Xki =∑Xij 于是2~n-1号节点的入度必须等于出度

于是3个条件等价于一条从1号节点到n号节点的路径，故Xij=1表示需要经过边(i,j)，代价为Cij。Xij=0表示不经过边(i,j)。注意到Cij非负且题目要求总代价最小，因此最优答案的路径一定可以对应一条简单路径。

最终，我们直接读入边权的邻接矩阵，跑一次1到n的最短路即可，记最短路为path。

以上情况设为A

非常非常非常非常非常非常非常非常抱歉，简单路径只是充分条件，但不必要。（对造成困扰的队伍深表歉意）

漏了如下的情况B：

从1出发，走一个环（至少经过1个点，即不能是自环），回到1；从n出发，走一个环（同理），回到n。

容易验证，这是符合题目条件的。且A || B为该题要求的充要条件。

由于边权非负，于是两个环对应着两个简单环。

因此我们可以从1出发，找一个最小花费环，记代价为c1,再从n出发，找一个最小花费环，记代价为c2。（只需在最短路算法更新权值时多加一条记录即可：if(i==S) cir=min(cir,dis[u]+g[u][i])）

故最终答案为min(path,c1+c2)

/*
HDU 4370 0 or 1
转换思维的题啊，由一道让人不知如何下手的题，转换为了最短路
基本思路就是把矩阵看做一个图，图中有n个点，1号点出度为1，
n号点入度为1，其它点出度和入度相等，路径长度都是非负数，

等价于一条从1号节点到n号节点的路径，故Xij=1表示需要经
过边(i,j)，代价为Cij。Xij=0表示不经过边(i,j)。注意到Cij非负
且题目要求总代价最小，因此最优答案的路径一定可以对应一条简单路径。

最终，我们直接读入边权的邻接矩阵，跑一次1到n的最短路即可，记最短路为path。

漏了如下的情况B：
从1出发，走一个环（至少经过1个点，即不能
是自环），回到1；从n出发，走一个环（同理），回到n。
也就是1和n点的出度和入度都为1，其它点的出度和入度为0.

由于边权非负，于是两个环对应着两个简单环。

因此我们可以从1出发，找一个最小花费环，记代价为c1,
再从n出发，找一个最小花费环，记代价为c2。
（只需在最短路算法更新权值时多加一条记录即可：if(i==S) cir=min(cir,dis[u]+g[u][i])）

故最终答案为min(path,c1+c2)
*/
/*
本程序用SPFA来完成最短路。
但是由于要计算从出发点出发的闭环的路径长度。
所以要在普通SPFA的基础上做点变化。

就是把dist[start]设为INF。同时一开始并不是让出发点入队，而是让
出发点能够到达的点入队。
*/
#include<stdio.h>
#include<iostream>
#include<string.h>
#include<algorithm>
using namespace std;

const int INF=0x3f3f3f3f;
const int MAXN=330;
int cost[MAXN][MAXN];//保存路径长度的邻接矩阵
int dist[MAXN];
int que[MAXN];//注意队列的循环利用，建成循环队列
bool vis[MAXN];//是否在队列中标记

void SPFA(int start,int n)
{
    int front=0,rear=0;
    for(int v=1;v<=n;v++)//初始化
    {
        if(v==start)//由于要找start的闭环，所以dist[start]设为INF，且不入队
        {
            dist[v]=INF;
            vis[v]=false;
        }
        else if(cost[start][v]!=INF)
        {
            dist[v]=cost[start][v];
            que[rear++]=v;
            vis[v]=true;
        }
        else//即dist[start][v]==INF情况，对本题没有这种情况
        {
            dist[v]=INF;
            vis[v]=false;
        }
    }

    while(front!=rear)//注意这个条件是不等，因为是循环队列
    {
        int u=que[front++];
        for(int v=1;v<=n;v++)
        {
            if(dist[v]>dist[u]+cost[u][v])
            {
                dist[v]=dist[u]+cost[u][v];
                if(!vis[v])//不在队列
                {
                    vis[v]=true;
                    que[rear++]=v;
                    if(rear>=MAXN) rear=0;//循环队列
                }
            }
        }
        vis[u]=false;
        if(front>=MAXN)front=0;
    }

}
int main()
{
    //freopen("in.txt","r",stdin);
    //freopen("out.txt","w",stdout);
    int n;
    while(scanf("%d",&n)!=EOF)
    {
        for(int i=1;i<=n;i++)
          for(int j=1;j<=n;j++)
            scanf("%d",&cost[i][j]);
        SPFA(1,n);
        int ans=dist[n];//1到n的最短路
        int loop1=dist[1];//1的闭环长度
        SPFA(n,n);
        int loopn=dist[n];//n的闭环长度
        ans=min(ans,loop1+loopn);
        printf("%d\n",ans);
    }
    return 0;
}

下面是用堆栈实现的SPFA

/*
用堆栈实现SPFA，有时候比队列快
*/
#include<stdio.h>
#include<iostream>
#include<string.h>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int MAXN=330;
const int INF=0x3f3f3f3f;

int cost[MAXN][MAXN];
int dist[MAXN];
int Q[MAXN];
bool vis[MAXN];

void SPFA(int start,int n)
{//堆栈实现，有时候比队列快
    int top=0;
    for(int v=1;v<=n;v++)
    {
        if(v==start)
        {
            dist[v]=INF;
            vis[v]=false;
        }
        else
        {
            dist[v]=cost[start][v];
            vis[v]=true;
            Q[top++]=v;
        }
    }
    while(top!=0)
    {
        int u=Q[--top];
        for(int v=1;v<=n;v++)
        {
            if(dist[v]>dist[u]+cost[u][v])
            {
                dist[v]=dist[u]+cost[u][v];
                if(!vis[v])
                {
                    vis[v]=true;
                    Q[top++]=v;
                }
            }
        }
        vis[u]=false;
    }
}
int main()
{
    //freopen("in.txt","r",stdin);
    //freopen("out.txt","w",stdout);
    int n;
    while(scanf("%d",&n)!=EOF)
    {
        for(int i=1;i<=n;i++)
          for(int j=1;j<=n;j++)
            scanf("%d",&cost[i][j]);
        SPFA(1,n);
        int ans=dist[n];//1到n的最短路
        int loop1=dist[1];//1的闭环长度
        SPFA(n,n);
        int loopn=dist[n];//n的闭环长度
        ans=min(ans,loop1+loopn);
        printf("%d\n",ans);
    }
    return 0;
}