[18-03-24] Matlab 数据分析

1° 数据插值

一般地，从各种试验得来的数据总是有一定的数量，而利用插值技术能够从有限的数据中获取系统整体的状态，因此，数据插值在各行各业，特别是信号处理领域内有着广泛的应用。

常用数据插值函数

函数中较常用的就是进行基本插值的 interp 系列函数，其中 interp1 和 interp1q 函数比较起来，后者在处理 X 为单调递增的向量，Y 为列向量或者行数同 X 向量长度的矩阵进行插值计算的时候，速度较快，而且仅能进行线性插值。

interp1 函数一般的用法为 yi = interp1(x, y, xi, method)

其中:

• x 和 y 为原始数据，xi 为需要计算的插值点。method 可以为插值计算指定相应的算法，为字符串类型，其取值可以为 nearest linear spline cubic pchip v5cubic。

若进行插值运算时，xi 的取值超过了 x 的范围，则需要进行外插运算，这个时候需要在使用函数的时候指定参数 extrap，即函数的使用方法为yi = interp1(x, y, xi, method, 'extrap')

二维插值运算函数的使用方法类似一维插值运算函数的使用方法，同样也可以在使用函数的同时指定相应的算法：nearest linear cubic spline 等。与一维插值不同的是，这里使用的插值算法都需要进行双次运算，所以也可以在算法选择时使用 bilinear 或者bicubic关键字指定相应的算法。在例子中，对这几种插值算法进行了比较，并用 contour 进行了可视化处理：

  clear
  clc
  %COMPARE_INTERP 不同插值运算的比较
  % 原始数据
  [x,y] = meshgrid(-3:1:3);
  z = peaks(x,y);
  figure(1); clf
  surfc(x,y,z);
  title('原始数据')
  % 进行插值运算 
  [xi, yi] = meshgrid(-3:0.25:3);
  zi1 = interp2(x,y,z,xi,yi,'nearest');
  zi2 = interp2(x,y,z,xi,yi,'linear');
  zi3 = interp2(x,y,z,xi,yi,'cubic');
  zi4 = interp2(x,y,z,xi,yi,'spline');
  % 通过可视化结果比较
  figure(2)
  subplot(2,2,1);surf(xi,yi,zi1); title('二维插值 - ''nearest''')
  subplot(2,2,2);surf(xi,yi,zi2); title('二维插值 - ''linear''')
  subplot(2,2,3);surf(xi,yi,zi3); title('二维插值 - ''cubic''')
  subplot(2,2,4);surf(xi,yi,zi4); title('二维插值 - ''spline''')
  % 可视化结果
  figure(3)
  subplot(2,2,1);contour(xi,yi,zi1); title('二维插值 - ''nearest''')
  subplot(2,2,2);contour(xi,yi,zi2); title('二维插值 - ''linear''')
  subplot(2,2,3);contour(xi,yi,zi3); title('二维插值 - ''cubic''')
  subplot(2,2,4);contour(xi,yi,zi4); title('二维插值 - ''spline''')

2° 曲线拟合

回归分析是曲线拟合的常用方法，最小二乘法是回归分析法的一种方法。

回归分析法曲线拟合：

  clear
  clc
  t = [0 .3 .8 1.1 1.6 2.3]';
  y = [0.5 0.82 1.14 1.25 1.35 1.40]';
  plot(t,y,'r*')
  grid on
  X = [ones(size(t))  t  t.^2]
  A = X\y
  T = (0:0.1:2.5)';
  Y = [ones(size(T))  T  T.^2]*A;
  plot(T,Y,'-',t,y,'o'), grid on
  legend('Fitting','Origin')
  hold on;        % 保留之前绘制的曲线
  X = [ones(size(t))  exp(-t)  t.*exp(-t)]
  A = X\y
  T = (0:0.1:2.5)';
  Y = [ones(size(T))  exp(-T)  T.exp(-T)]A;
  plot(T,Y,'-',t,y,'o'), grid on
  legend('Fitting', 'Origin')

做最小二乘拟合：polyfit polyval

  clear
  clc
  x = 0:.1:10;
  y = sin(x)+cos(2*x);
  % 5次多项式拟合
  k5 = polyfit(x,y,5);    % 得到5次多项式系数
  y5 = polyval(k5, x);    % 得到离散的数值
  % 11次多项式拟合
  k11 = polyfit(x,y,11);
  y11 = polyval(k11, x); 
  % 绘制数据曲线
  plot(x, y, 'g', x, y5, 'r', x, y11, 'b') 
  % 标注
  title('Curve Fitting', 'Fontsize',14)
  legend('Original Curve', '5th order', '11th order','Location','southeast')
  set(findobj('Type', 'line'), 'LineWidth', 2) 

运用次方越多，和函数越接近，但是运算量也会变大。如果你的数据精度够高，可以尝试高次的拟合；反之，若你只需要获得数据的大趋势，低次的拟合可能效果更好。总而言之，Matlab 只是工具，关键看对知识的理解和如何运用公式。

3° 图形界面曲线拟合

Matlab 提供了基本的曲线拟合图像工具，利用这个界面可以完成以下工作：

• 使用三次样条曲线(cubic spline)或最高10阶的多项式拟合数据
• 对一组给定的数据同时绘制多条拟合曲线
• 绘制拟合残差曲线
• 查看拟合的数值结果
• 对拟合曲线求值(内插或外推)
• 用拟合数值结果和残差的范数标注图形
• 把拟合的结果保存到 MATLAB工作区

使用基本的曲线拟合工具，以 Matlab 自带的 Demo 为例 help census :

  clear
  clc
  load census         % 美国每十年的人口数据
  plot(cdate,pop,'ro');

在 figure 窗口点击 工具 → 基本拟合 ，后续可以选择中心化并缩放 X 数据、拟合方式、绘制残差图、显示残差模等，之后 保存到工作区

  whos
  fit

之后可以继续扩展使用工具箱，计算到 2050 年的计算结果。有时候工具箱会出现小问题，重新启动即可。