Java计算手机九宫格锁屏图案连接9个点的方案总数

(一)问题

九宫格图案解锁连接9个点共有多少种方案?

(二)初步思考

可以把问题抽象为求满足一定条件的1-9的排列数(类似于“八皇后问题”),例如123456789和987654321都是合法的(按照从上到下、从左到右、从1到9编号),解决此类问题一般都用递归方法,因为问题规模较大,且没有明确的计算方法

(三)深度思考

不难想出下面的简单思路:

1.先穷举,再排除不合法结果(过滤穷举的结果)

大略估计一下复杂度,A99=362880(计算机应该可以接受),方案总数不超过A99,也就是说穷举的结果是A99,再滤去不合法的结果即可,理论上此方法可行

2.按条件穷举(在穷举的过程中排除不合法结果)

1>正常思维

—a.选择起点位置(i,j)

—b.在起点周围寻找合法终点,规则如下:(共有12个方向)

——1.上(i – 1, j)–5.左上斜(i – 1, j – 1)—9.左上长斜(i – 2, j – 1)

——2.下(i + 1, j) -6.左下斜(i + 1, j – 1) -10.左下长斜(i + 2, j – 1)

——3.左(i, j – 1)–7.右上斜(i – 1, j + 1)–11.右上长斜(i – 2, j + 1)

——4.右(i, j + 1) -8.右下斜(i + 1, j + 1)-12.右下长斜(i + 2, j + 1)

—c.记录路径(起点 + 终点)

—d.判满,若路径长度小于9执行e步骤,否则执行f步骤

—e.终点变起点,返回a步骤

—f.输出结果(路径)

2>逆向思维

—a.排除(1.排除已选择的点2.排除从起点不能到达的点)得到临时剩余点集

—b.在临时剩余点集中选择下一个点

—c.判满,路径长度小于9,执行d步骤,否则执行e步骤

—d.执行a步骤

—e.输出结果(路径)

P.S.正常思维比较容易理解,逆向思维更容易实现

(四)编码

[最初想用方案2的逆向思维方案来实现,结果失败了,原因是递归内嵌循环,程序执行轨迹难以捉摸…头疼良久之后放弃了,改用方案1,简单粗暴]

[核心代码类]

import java.util.ArrayList;  
import java.util.Arrays;  
import java.util.List;  

public class ScreenLock {
	//将NUM设置为待排列数组的长度即实现全排列 
	private int NUM = 0;
	private int count = 0;
	private String[] strSource;
	String string = null;

	private static String[] wrongPos = {//各点对应的不能到达的位置
		"379","8","179",
		"6","#","4",
		"139","2","137"};
	
	public ScreenLock(String[] strSource)
	{//strSource格式为以逗号分隔的数字串,如1,2,3,4
		//初始化
		this.strSource = strSource;
		this.NUM = strSource.length;
	}
	
	public int getCount()
	{
		sort(Arrays.asList(strSource), new ArrayList());
		
		return count;
	}

	private void sort(List datas, List target) {
		if (target.size() == NUM) {
			StringBuilder sb = new StringBuilder();
			for (Object obj : target)
				sb.append(obj);
			String ans = sb.toString();
			if(isValid(ans))
				count++;
			return;
		}
		for (int i = 0; i < datas.size(); i++) {
			List newDatas = new ArrayList(datas);
			List newTarget = new ArrayList(target);
			newTarget.add(newDatas.get(i));
			newDatas.remove(i);
			sort(newDatas, newTarget);
		}
	}

	private boolean isValid(String ans)
	{//判断ans是否合法
		for(int i = 0;i < ans.length() - 1;i++)
		{
			//获取当前位置的字符的值
			int currPos = Integer.parseInt(ans.charAt(i) + "");
			//获取路径子串
			String path = ans.substring(0, i + 1);
			//获取错误值
			String wrrPos = wrongPos[currPos - 1];
			//获取可变错误值
			if(currPos != 5)//5不可能变
			{
				for(int j = 0;j < wrrPos.length();j++)
				{
					//获取中间值
					String wrong = wrrPos.charAt(j) + "";
					int mid = (currPos + Integer.parseInt(wrong)) / 2;
					//若中间值已被连接,则错误终点可用
					if(path.contains(mid + ""))
						wrrPos = wrrPos.replace(wrong, "#");

					//若下一位是错误值则ans不合法
					if(wrrPos.contains(ans.charAt(i + 1) + ""))
						return false;
				}
			}
		}

		return true;
	}
}  

特别说明:上面代码中用到的全排列算法来自http://blog.csdn.net/sunyujia/article/details/4124011 (尊重前辈的劳动成果)

[测试类]

public class CountLockPlans {

	public static void main(String[] args) {
		//计算手机九宫格锁屏图案连接9个点的方案总数
		String s = "1,2,3,4,5,6,7,8,9";
		
		String[] str = s.split(",");
		ScreenLock lock = new ScreenLock(str);
		int num = lock.getCount();
		System.out.println("连接9个点共有 " + num + " 种方案");
	}

}

(五)运行结果

连接9个点共有 62632 种方案【此结果是错的,详情见最下方第(十)点】

(六)程序正确性检验

1.能否生成1-9的全排列?

注释掉无关代码,直接输出所有全排列,同时计数,结果无误(全部输出需要17秒左右)

2.isValid()方法是否能够正确判断方案的合法性?

单独调用isValid()传入各种参数测试,结果无误

3.算法逻辑是否无误?

求排列的同时过滤不合法解,逻辑无误

[综上,理论上输出的结果是正确的]

(七)答案正确性确认

上网找找有没有人算出结果,滤去所有看起来不靠谱的答案,选定果壳网答案(据说用了Mathematica,乍看高上大

文章中的解决思路也是:合法方案数 = 全排列总数 – 不合法方案数

原文链接:http://www.guokr.com/article/49408/

仔细看过文章后发现原文的结论可能是错的(虽然不知道其具体算法)

1.从原文的贴图可以看到先求出了方案总数985 824(这个我们不必关心,只需要关注连接9个点的计算结果就好)

2.原文贴图记下不能直接连的点对(和我们的wrongPos数组作用类似,用来排除)

3.接着往下看是:根据上一步的点对生成所有不合法方案(仍然不知道具体是怎么算的,但是这里肯定存在漏洞)

原作者的思路应该是按照相邻点来判断生成不合法方案(例如:假设第一位是1那么如果第二位选择3,则以13开头的所有方案全部PASS掉)

不难发现这样一个BUG:第一位选择2,第二位选择1,那么第三位能不能选择3呢?

实际情况是Yes,但如果按照上面假设的判断方法则是No,因为(1,3)属于不合法点对!

这就又出现新问题了,因为我们发现所谓的不合法点对好像是一个动态的集合,如果中间点被选了,那么非法点对就变成合法的了(例如2被选了之后1可以和3连接,3和1也可以连接)

我们的算法会不会存在这个问题呢?

private boolean isValid(String ans)
	{//判断ans是否合法
		for(int i = 0;i < ans.length() - 1;i++)
		{
			//获取当前位置的字符的值
			int currPos = Integer.parseInt(ans.charAt(i) + "");
			//获取路径子串
			String path = ans.substring(0, i + 1);
			//获取错误值
			String wrrPos = wrongPos[currPos - 1];
			//获取可变错误值
			if(currPos != 5)//5不可能变
			{
				for(int j = 0;j < wrrPos.length();j++)
				{
					//获取中间值
					String wrong = wrrPos.charAt(j) + "";
					int mid = (currPos + Integer.parseInt(wrong)) / 2;
					//若中间值已被连接,则错误终点可用
					if(path.contains(mid + ""))
						wrrPos = wrrPos.replace(wrong, "#");

					//若下一位是错误值则ans不合法
					if(wrrPos.contains(ans.charAt(i + 1) + ""))
						return false;
				}
			}
		}

		return true;
	}

从上面的代码不难看出我们的算法已经考虑到了这样的情况(动态修正wrrPos)

(八)思考延伸

按照这样的方法,我们不难算出一共有多少种方案(从四个点到九个点),在此作简单分析:

1>9个点和8个点的数目应该相等(前8位数都定了,最后一位也就不能变了)

2>9个点和7个点的数目应该是2倍关系(前7位数定了,后两位只有两种排列方式,如果去掉后2位则前7位数有一半重复了)

设总方案数为 num,连接 i 个点的方案总数为 n( i ),例如n( 9 ) = 62632

则:1式:num = n( 4 ) + n( 5 ) + n( 6 ) + n( 7 ) + n( 8 ) + n( 9 )

2式:n( 8 ) = n( 9 ), n( 7 ) = n( 9 ) / 2, n( 6 ) = n( 9 ) / 6, n( 5 ) = n( 9 ) / 24, n( 4 ) = n( 9 ) / 120 [规律:n( i ) = n( 9 ) / A(9 – i)(9 – i)]

把2式带入1式即可求得方案总数,在此不再赘述

(九)总结

探索过程中虽然走了很多弯路,但也有不少收获,例如动态不合法判断的BUG是在尝试方案2时发现的,虽然方案2失败了,但避免了在方案1中出现类似的问题

只要思路明晰,敢于尝试,绝对没有plain try

(十)BUG修正

文中对果壳网算法提出的质疑是错误的,原文结果是对的

经过验证,本文算法存在BUG,信息如下:

当前路径是 12345687
错误原因是下一位 9被错误值#39包含
错误串为 123456879

BUG分析:出现这个BUG的原因是对自己的算法太过自信,设计算法的时候过分考虑了算法复杂度,省掉了一个不能省的循环(应该先动态修改wrrPos再对结果进行判断,原算法把二者放在一个循环里了)

现对isValid方法修改如下:

private static boolean isValid(String ans)
	{//判断ans是否合法
		for(int i = 0;i < ans.length() - 1;i++)
		{
			//获取当前位置的字符的值
			int currPos = Integer.parseInt(ans.charAt(i) + "");
			//获取路径子串
			String path = ans.substring(0, i + 1);
			//获取错误值
			String wrrPos = wrongPos[currPos - 1];
			//获取可变错误值
			if(currPos != 5)//5不可能变
			{
				for(int j = 0;j < wrrPos.length();j++)
				{
					//获取中间值
					String wrong = wrrPos.charAt(j) + "";
					int mid = (currPos + Integer.parseInt(wrong)) / 2;
					//若中间值已被连接,则错误终点可用
					if(path.contains(mid + ""))
						wrrPos = wrrPos.replace(wrong, "#");
				}

				//若下一位是错误值则ans不合法
				if(wrrPos.contains(ans.charAt(i + 1) + ""))
					return false;
			}
		}

		return true;
	}

[与原算法唯一的区别是把if判断语句从循环里拿出来了,当时想法是为了节省一个循环…结果,哎…]

修正后运行结果:

连接9个点共有 140704 种方案

结论:果壳网的结论是正确的!之前对其内部算法的猜测可能有误,实属抱歉。

    原文作者:梦烬
    原文地址: http://www.cnblogs.com/ayqy/p/3611940.html
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