非对称加密（2）非对称加密算法
基本流程很简单，那么公钥加密，私钥解密的算法原理到底是什么呢？本节简要阐述RSA算法、DSA算法、ECC算法、Diffie-Hellman算法的基本原理，其中涉及很多数论、离散数学以及解析几何方面的数学知识，感兴趣的读者可以借此加强相关理论基础。
RSA算法
RSA算法是当前最著名、应用最广泛的公钥系统，1978年由美国麻省理工学院的Ron Rivest、 Adi Shamir 和Leonard Adleman在论文《获得数字签名和公开钥密码系统的方法》中提出的。这是一个基于数论的非对称（公开钥）密码体制，采用分组加密方式。其名称来自于三个发明者的姓名首字母。它的安全性是基于大整数素因子分解的困难性，而大整数因子分解问题是数学上的著名难题，至今没有有效的方法予以解决，因此可以确保RSA算法的安全性。RSA系统是公钥系统的最具有典型意义的方法，大多数使用公钥密码进行加密和数字签名的产品和标准使用的都是RSA算法。
RSA算法是第一个既能用于数据加密也能用于数字签名的算法，因此它为公用网络上信息的加密和鉴别提供了一种基本的方法。它通常是先生成一对RSA 密钥，一个是保密密钥，由用户保存；另一个为公开密钥，可对外公开，甚至可在网络服务器中注册，人们用公钥加密文件发送给个人，个人就可以用私钥解密接收。为提高保密强度，RSA密钥一般为1024或者2048位。
RSA算法的工作原理如下：
步骤 1 任意选取两个不同的大质数p和q，计算乘积r=p*q。
步骤 2 任意选取一个大整数e，e与（p-1）*（q-1）互质，整数e用做加密密钥。注意：e的选取是很容易的，所有大于p和q的质数都可用。
步骤 3 确定解密密钥d： d * e = 1 mod（p – 1）*（q – 1）根据e、p和q可以容易地计算出d。
步骤 4 公开整数r和e，但是不公开d。
步骤 5 将明文P（P是一个小于r的整数）加密为密文C，计算方法为C = P^e mod r 。
步骤 6 将密文C解密为明文P，计算方法为： P = C^d modulo r 。
然而只根据r和e（不是p和q）要计算出d是不可能的。因此，任何人都可对明文进行加密，但只有授权用户（知道d）才可对密文解密。
如果你对RSA算法的数学证明感兴趣的话，可以看扩展阅读。
扩展阅读 RSA算法的数学证明
定理 若 p, q 是相异质数, rm == 1 mod （p-1）（q-1）； a 是任意一个正整数，b == a^m mod pq, c == b^r mod pq, 则 c == a mod pq 。
费马小定理 m 是任一质数, n 是任一整数, 则 n^m = = n mod m 。（或者如果 n 和 m 互质, 则 n^（m-1） = = 1 mod m） 。
证明
因为 rm = = 1 mod （p-1）（q-1）, 所以 rm = k（p-1）（q-1） + 1, 其中 k 是整数 。
因为在 modulo 中是 preserve 乘法的
x = = y mod z and u = = v mod z => xu = = yv mod z
所以
c = = b^r = = （a^m）^r = = a^（rm） = = a^（k（p-1）（q-1）+1） mod pq
1. 如果 a 不是 p 的倍数, 也不是 q 的倍数时, 则
a^（p-1） = = 1 mod p （费马小定理） => a^（k（p-1）（q-1）） = = 1 mod p
a^（q-1） = = 1 mod q （费马小定理） => a^（k（p-1）（q-1）） = = 1 mod q
所以 p, q 均能整除
a^（k（p-1）（q-1）） – 1 => pq | a^（k（p-1）（q-1）） – 1
即
a^（k（p-1）（q-1）） == 1 mod pq => c = = a^（k（p-1）（q-1）+1） = = a mod pq
2. 如果 a 是 p 的倍数, 但不是 q 的倍数时, 则
a^（q-1） == 1 mod q （费马小定理）
=> a^（k（p-1）（q-1）） = = 1 mod q
=> c = = a^（k（p-1）（q-1）+1） = = a mod q
=> q | c – a
因 p | a
=> c = = a^（k（p-1）（q-1）+1） = = 0 mod p
=> p | c – a
所以
pq | c – a => c = = a mod pq
3. 如果 a 是 q 的倍数, 但不是 p 的倍数时, 证明同上 。
4. 如果 a 同时是 p 和 q 的倍数时, 则
pq | a
=> c = = a^（k（p-1）（q-1）+1） == 0 mod pq
=> pq | c – a => c = = a mod pq
在做编码解码时, 限制 0 <= a < n, 0 <= c < n, 这就是说 a = =c, 所以这个过程确实能做到编码解码的功能。
为了说明该算法的工作过程，下面给出一个简单例子。显然，这里只能取很小的数字，但是如上所述，为了保证安全，在实际应用上所用的数字要大得多。
例 选取p=3, q=5，则r=15，（p-1）*（q-1）=8。选取e=11（大于p和q的质数），通过d * 11 = 1 modulo 8，计算出d =3。
假定明文为整数13。则密文C为 ：
C = P^e mod r
= 1311 mod 15
= 1,792,160,394,037 mod 15
= 7
复原明文P为：
P = C^d mod r
= 73 mod 15
= 343 mod 15
= 13
因为e和d互逆，公开密钥加密方法也允许采用这样的方式对加密信息进行“签名“，以便接收方能确定签名不是伪造的。
RSA算法解决了大量网络用户密钥管理的难题，这是公钥密码系统相对于对称密码系统最突出的优点。但是它同时也存在一定的缺点：
1）产生密钥很麻烦，受到素数产生技术的限制，因而难以做到一次一密。
2）安全性。RSA的安全性依赖于大数的因子分解，但并没有从理论上证明破译RSA的难度与大数分解难度等价。目前，人们已能分解140多个十进制位的大素数，这就要求使用更长的密钥，速度更慢；另外，目前人们正在积极寻找攻击RSA的方法，如选择密文攻击，一般攻击者是将某信息伪装（Blind），让拥有私钥的实体签署。然后，经过计算就可得到它所想要的信息。实际上，攻击利用的都是同一个弱点，即存在这样一个事实：乘幂保留了输入的乘法结构： （ XM ）d = Xd *Md mod n。前面已经提到，这个固有的问题来自于公钥密码系统的最有用的特征：每个人都能使用公钥。但从算法上无法解决这一问题，主要措施有两条：一条是采用好的公钥协议，保证工作过程中实体不对其他实体任意产生的信息解密，不对自己一无所知的信息签名；另一条是决不对陌生人送来的随机文档签名，签名时首先使用One-Way Hash Function对文档作HASH处理，或同时使用不同的签名算法。除了利用公共模数，人们还尝试一些利用解密指数或φ（n）等攻击。
3）速度慢。由于RSA 的分组长度太大，使运算代价很高，尤其是速度较慢，较对称密码算法慢几个数量级；且随着大数分解技术的发展，这个长度还在增加，不利于数据格式的标准化。目前，SET（Secure Electronic Transaction）协议要求CA采用2048比特的密钥，其他实体使用1024比特的密钥。为了速度问题,目前人们广泛采取单、公钥密码结合使用的方法,优缺点互补:单钥密码加密速度快,人们用它来加密较长的文件,然后用RSA给文件密钥加密，极好地解决了单钥密码的密钥分发问题。
DSA算法
DSA（Digital Signature Algorithm，数字签名算法）是Schnorr和ElGamal签名算法的变种，被美国NIST作为DSS（DigitalSignature Standard，数字信号标准）。DSA算法是基于整数有限域离散对数难题的，其安全性与RSA相似。DSA的一个重要特点是两个素数公开，这样，当使用别人的p和q时，即使不知道私钥，也能确认它们是否是随机产生的，还是作了手脚。RSA算法却做不到。
（1） DSA算法参数
p：L bits长的素数。L是64的倍数，范围是512到1024；
q：p – 1的160bits的素因子；
g：g = h^（（p-1）/q） mod p，h满足h < p – 1, h^（（p-1）/q） mod p > 1；
x：x < q，x为私钥；
y：y = g^x mod p ，（ p, q, g, y ）为公钥；
H（ x ）：One-Way Hash函数。DSS中选用SHA（ Secure Hash Algorithm ）。
其中，p、 q、g可由一组用户共享，但在实际应用中，使用公共模数可能会带来一定的威胁。
（2） 签名及验证协议
1) p产生随机数k，k < q。
2) p计算：
r = （ g^k mod p ） mod q
s = （ k^（-1）（H（m） + xr）） mod q
签名结果是（ m, r, s ）。
3) 验证时计算：
w = s^（-1）mod q
u1 = （ H（ m ） * w ） mod q
u2 = （ r * w ） mod q
v = （（ g^u1 * y^u2 ） mod p ） mod q
若v = r，则认为签名有效。
（3） 安全性
DSA主要依赖于整数有限域离散对数难题。素数 P 必须足够大，且p-1至少包含一个大素数因子以抵抗Pohlig & Hellman算法的攻击。M一般都应采用信息的HASH值（官方推荐为SHA算法）。DSA的安全性主要依赖于p和g，若选取不当则签名容易伪造，应保证g对于p-1的大素数因子不可约。个人认为：DSA的安全性要次于ECC， 与RSA不相上下。但是，在DSA算法的验证过程中， R和S 是以明文形式出现的，这点很容易被恶意攻击者利用。
DSA算法在破解时关键的参数就是X，根据 Y = G^X mod P ，只要知道 P，G，Y，Q 且能分解出 X ，就可以伪造R、S，从而写出KeyGen了。
ECC算法
ECC（Elliptic Curve Cryptosystem，椭圆曲线密码体制）算法中，椭圆曲线指的是由韦尔斯特拉斯（Weierstrass）方程所确定的平面曲线。如下：
y2+a1xy+a3y＝x3+a2x2+a4x+a6 (1)
若F是一个域（ai ∈F,i=1,2,…,6），且满足式（1）的数偶（x,y）称为F域上的椭圆曲线E的点。F域可以是有理数域，还可以是有限域GF（Pr）。椭圆曲线通常用E表示。除了曲线E包含的点，还有一个无穷远点O。
在ECC中，利用了定义在有限域上的椭圆曲线。其方程如下：
y2=x3+ax+b(mod p)（4a3+27b2(mod p)≠0 其中，x,y,a,b ∈Fp）(2)
这里p是素数，a和b为两个小于p的非负整数。满足式（2）的点（x,y）和一个无穷点O就组成了椭圆曲线E。
椭圆曲线离散对数问题ECDLP定义如下：
给定素数p和椭圆曲线E，对 Q=kP,在已知P,Q的情况下求出小于p的正整数k。
可以证明，已知k和P计算Q比较容易，而由Q和P计算k则比较困难，至今没有有效的方法来解决这个问题，这就是ECC原理之所在。
ECC与RSA相比，有以下的优点：
q 安全性能更高。如160位ECC与1024位RSA、DSA有相同的安全强度。
q 计算量小，处理速度快。在私钥的处理速度上（解密和签名），ECC远 比RSA、DSA快得多。
q 存储空间占用小。ECC的密钥尺寸和系统参数与RSA、DSA相比要小得多， 所以占用的存储空间小得多。
q 带宽要求低。
Diffie-Hellman算法
由于该算法本身限于密钥交换的用途，许多商用产品用做密钥交换技术，因此该算法通常称为Diffie-Hellman密钥交换算法。这种密钥交换技术的目的在于使得两个用户安全地交换一个秘密密钥以便用于以后的报文加密。
Diffie-Hellman密钥交换算法的有效性依赖于计算离散对数的难度。离散对数的定义如下：
首先定义一个素数p的原根，为其各次幂产生从1 到p-1的所有整数根，也就是说，如果a是素数p的一个原根，那么数值
a mod p, a2 mod p, …, ap-1 mod p
是各不相同的整数，并且以某种排列方式组成了从1到p-1的所有整数。
对于一个整数b和素数p的一个原根a，可以找到惟一的指数i，使得
b = ai mod p 其中0 ≤ i ≤（p-1）
指数i称为b的以a为基数的模p的离散对数或者指数。该值被记为inda ,p（b）。
基于此背景知识，可以定义Diffie-Hellman密钥交换算法。该算法描述如下：
1）有两个全局公开的参数，一个素数q和一个整数a，a是q的一个原根。
2）假设用户A和B希望交换一个密钥，用户A选择一个作为私有密钥的随机数XA<q，并计算公开密钥YA=aXA mod q。A对XA的值保密存放而使YA能被B公开获得。类似地，用户B选择一个私有的随机数XB<q，并计算公开密钥YB=aXB mod q。B对XB的值保密存放而使YB能被A公开获得。
3）用户A产生共享秘密密钥的计算方式是K = （YB）XA mod q。同样，用户B产生共享秘密密钥的计算是K = （YA）XB mod q。这两个计算产生相同的结果：
K = （YB）XA mod q
= （aXB mod q）XA mod q
= （aXB）XA mod q
= aXBXA mod q
= （aXA）XB mod q
= （aXA mod q）XB mod q
= （YA）XB mod q
因此相当于双方已经交换了一个相同的秘密密钥。
4） 因为XA和XB是保密的，一个敌对方可以利用的参数只有q、a、YA和YB。因而敌对方被迫取离散对数来确定密钥。例如，要获取用户B的秘密密钥，敌对方必须先计算
XB = inda ,q（YB）
然后再使用用户B采用的同样方法计算其秘密密钥K。
Diffie-Hellman密钥交换算法的安全性依赖于这样一个事实：虽然计算以一个素数为模的指数相对容易，但计算离散对数却很困难。对于大的素数，计算出离散对数几乎是不可能的。下面以一个简单的例子来说明。
密钥交换基于素数q = 97和97的一个原根a = 5。A和B分别选择私有密钥XA = 36和XB = 58。每人计算其公开密钥：
YA = 536 = 50 mod 97
YB = 558 = 44 mod 97
它们相互获取了公开密钥之后，各自通过计算得到双方共享的秘密密钥如下：
K = （YB）XA mod 97 = 4436 = 75 mod 97
K = （YA）XB mod 97 = 5058 = 75 mod 97
从|50，44|出发，攻击者要计算出75很不容易。实际应用环境类似下面的情节。
现在假设有一组用户（例如一个局域网上的所有用户），每个人都产生一个长期的私有密钥XA，并计算一个公开密钥YA。这些公开密钥数值连同全局公开数值q和a都存储在密钥管理中心。在任何时刻，用户B都可以访问用户A 的公开数值，计算一个秘密密钥，并使用这个密钥发送一个加密报文给A。因为只有A和B可以确定这个密钥，其他用户都无法解读报文。接收方A知道只有用户B才能使用此密钥生成这个报文。鉴于此，ECC加密算法既可保证加密特性又可实现鉴别功能。
———————–注：本文部分内容改编自《.NET 安全揭秘》
