这篇文章收录在我的 Github 上 algorithms-tutorial，另外记录了些算法题解，感兴趣的可以看看，转载请注明出处。
(一) AVL 树概念
AVL 树(也可以称为平衡树)是一类数据结构，是改进后的二叉查找树。一般的二叉树的查询复杂度是跟目标结点到树根的距离 (即树深) 有关，因此如果当结点的深度普遍比较大时，查询的成本就会上升，所以 AVL 树就应运而生。
AVL 树可以理解为平衡树树的一种具体实现，两者并无二致。这里介绍的平衡树跟老师说的AVL 树不一样。
一、AVL 树特性：
- AVL 树本身首先得是一棵二叉搜索树
- 每个结点的左右子树的高度之差的绝对值 (平衡因子) 不超过 1
- 每个结点的左右子树也要满足特性 2，也是平衡二叉树
平衡因子：某结点的左子树与右子树的高度(深度)差即为该结点的平衡因子
AVL 树上所有结点的平衡因子只可能是 -1，0 或 1。
比如：
AVL 树：
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non-AVL 树：根节点无左子树
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二、为什么使用 AVL 树？
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我们都知道二叉搜索树可以具有良好的查询，插入等操作，但是如果二叉树退化成了链式树(上图右)，那么其空间复杂度也会从原本 O(logn) 退化成了 O(n)，这样显然是不想看到的结果。
如果可以让树维持矮矮胖胖的好身材, 也就是让高度维持在 O(log n)左右, 完成上述工作就很省时间。能够一直维持好身材, 不因新增删除而长歪的搜寻树, 叫做 AVL 树。
(二) AVL 树基本操作
相对于二叉查找树的节点来说，我们需要用一个属性二叉树的高度，目的是维护插入和删除过程中的旋转算法。
JAVA 代码实现:
public class AVLTree{
TreeNode leftChild = null;
TreeNode rightChild = null;
int height;
String data;
}
那么我们在对一棵二叉查找树进行插入和删除操作的时候，如何让其保持 AVL 树的特性呢？
一、旋转：
假设有一个结点的平衡因子为 2(在 AVL 树中，因为结点是一个个插入到树中，一旦出现不平衡的状态就会立即调整，因此平衡因子最大不可能超过 2)
那么这时候就要进行调整了，由于任意结点最多只有两个儿子，所以当高度不平衡时候，无非以下情况所造成：
- 对该结点的左儿子的左子树进行了一次插入。
- 对该结点的左儿子的右子树进行了一次插入。
- 对该结点的右儿子的左子树进行了一次插入。
- 对该结点的右儿子的右子树进行了一次插入。
情况 1 和 4 是关于该点的镜像对称，同样，情况 2 和 3 也是一对镜像对称。
当那个结点高度出现不平衡，我们就要对那个结点进行操作，这里我们称这个不平衡结点为当前节点。
二、单旋转：
情况 1 和情况 4类似，我们可以理解为发生在 “外边” 的情况 (即左-左，右-右的情况) 该情况只需要通过一次旋转来完成调整
情况 1：对该结点的左儿子的左子树进行了一次插入
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此时结点 k2 出现了不平衡，所以我们以 k2 为当前节点进行右旋，并将 Y 移到 k2 左子结点，从而变成右图（因为左边高度高，所以我们将左子树上移，来平衡其高度差，很好理解）
代码实现：
public AVLTree singleRotateWithRight(AVLTree unbalancedNode){
AVLTree node = unbalancedNode.leftChild;
unbalancedNode.leftChild = node.rightChild;
node.rightChild = unbalancedNode;
node.height = MAX(node.leftChild.height, node.rightChild.height) + 1;
unbalancedNode.height = MAX(unbalancedNode.leftChild.height, unbalancedNode.rightChild.height) + 1;
return node; //返回新的根结点
}
实例：插入结点 6
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情况 4：对该结点的右儿子的右子树进行了一次插入
6.png
思路和情况 1 类似，操作刚好相反过来
代码实现：
public AVLTree singleRotateWithLeft(AVLTree unbalancedNode){
AVLTree node = unbalancedNode.rightChild;
unbalancedNode.rightChild = node.leftChild;
node.leftChild = unbalancedNode;
node.height = MAX(node.leftChild.height, node.rightChild.height) + 1;
unbalancedNode.height = MAX(unbalancedNode.leftChild.height, unbalancedNode.rightChild.height) + 1;
return node; //返回新的根结点
}
实例：插入结点 6
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三、双旋转：
情况 2 和情况 3 (由于其形状可以称为 dog-leg)是插入发生在“内部”的情况（即左-右的情况或右-左的情况），该情况要通过稍微复杂些的双旋转来处理。
情况2：对该结点的左儿子的右子树进行了一次插入。
这种情况是单旋转调整不回来的，如下图，旋转后还是不平衡
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这时候需要旋转两次来达到平衡效果：
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以 k1 为当前结点进行左旋，再以 k3 为当前结点进行右旋
代码实现:
public AVLTree doubleRotateWithRight(PAVLNode unbalancedNode){ //之所以称为 Right，是因为最后不平衡结点变为右子树，这样比较好记
/* Rotate between K1 and K2 */
AVLTree node = singleRotateWithLeft(unbalancedNode.leftChild); //返回值为 K2
node.parent = unbalancedNode;
/* Rotate between K3 and K2 */
return singleRotateWithRight(unbalancedNode); //最后返回的是 k2 结点，即根结点
}
例如：往该树中插入结点 9
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情况3：对该结点的右儿子的左子树进行了一次插入。
类似需要旋转两次来达到平衡效果：
10.png
以 k3 为当前结点进行右旋，再以 k2 为当前结点进行左旋
代码实现:
public AVLTree doubleRotateWithLeft(PAVLNode unbalancedNode){
/* Rotate between K3 and K2 */
AVLTree node = singleRotateWithRight(unbalancedNode.rightChild); //返回值为 K2
node.parent = unbalancedNode;
/* Rotate between K1 and K2 */
return singleRotateWithLeft(unbalancedNode); //最后返回的是 k2 结点，即根结点
}
例如：往该树中插入结点 11
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插入操作：
插入的核心思路是通过递归找到合适的位置，插入新结点，然后看新结点是否平衡（平衡因子是否为2)，如果不平衡的话，就对其进行旋转操作：
- 在结点的左儿子(X < T->item):
在左儿子的左子树(X < T->l-> item): “外边”，要做单旋转。
在左儿子的右子树(X > T->l-> item): “内部”，要做双旋转。 - 在结点的右儿子(X > T->item):
在右儿子的左子树(X < T->r-> item)，“内部”，要做双旋转。
在右儿子的右子树(X > T->r-> item)，“外边”，要做单旋转。 - (X == T->item) ，对该节点的计数进行更新。
课上的两个例题：构建一棵 AVL 树
往树中按顺序插入 342, 206, 444, 523, 607, 301, 142, 183, 102, 157, 149
5.gif
往树中按顺序插入 47, 23, 52, 14, 59, 29, 36, 38, 26
6.gif
参考链接：
