硬币找零问题是动态规划的一个经典问题，其中最少硬币找零是一个变种，本篇将参照上一篇01背包问题的解题思路，来详细讲解一下最少硬币找零问题。如果你需要查看上一篇，可以点击下面链接： 详解动态规划01背包问题–JavaScript实现

也可以查看下一篇 详解动态规划最长公共子序列–JavaScript实现

下面让我们开始吧。

问题

给定4种面额的硬币1分，2分，5分，6分，如果要找11分的零钱，怎么做才能使得找的硬币数量总和最少。

分析

最少硬币找零问题，是为了求硬币的组合，所以一个大前提是硬币无限量供应。我们建立如下表格来分析问题：

其中每列用j表示零钱总额，每行i表示硬币面额。T[i][j]表示硬币个数，它是我们即将填入表格的数字。

在填写表格之前，我们需要先明确几个规则：

• 当填写第i行时，使用的硬币面额仅能是i以及小于i的面额。举个例子，比如我填写第0行，i=0，那么这一样只能使用面额为1分的硬币。当我填写第2行，i=2，那么可以使用1分，2分，5分三种面额的硬币。
• 当填写第j列时，表示当前需要使用硬币凑出的总额。比如j=6，表示需要使用硬币组合出总额为6分的情况。

1. i = 0

当我们只能使用面额为1分的硬币时，根据上面的规则，那么很显然，总额为几分，就需要几个硬币。即T[i][j] = j。

2. i = 1

当我们有1分和2分两种面额时，那么组合方式就相对多了点。

i=1 j = 1：总额为1时，只能使用1分的面额。即填1。 i=1 j = 2：总额为2时，可以使用2个1分的，也可以使用1个2分的。因为我们要求最少硬币，所以使用1个2分的。表格所表达的意思是硬币的数量，所以这里也填1。 i=1 j = 3：总额为3时，可以使用3个1分的，也可以使用1个1分加1个2分。因此这里应该填2。 i=1 j = 4：总额为4时，可以使用4个1分的，可以使用2个1分加1个2分，也可以使用2个2分。其中硬币最少的情况应该是2个2分。因此这里填2。 i=1 j = 5：总额为5时，组合就更多了，但是聪明的你应该能想到使用2个2分加1个1分，可以实现最少硬币的需求。因此这里填3。

我们来看填写完上面5格后的情况：

建议你自己再纸上照着我这图画一个表格。接下来，别急着填表。我们要根据已有的数据，总结出T[i][j]的规律，然后通过填写剩余表格来验证。

我们将硬币面额使用数组coins[i]来表示，根据表格有 1分=coins[0], 2分=coins[1]。 当j<coins[i]时，T[i][j]的值，应该等于它的同列，上一行，即使T[i][j] == T[i-1][j]。 比如我们从表中所看到的，T[1][1]==T[0][1]。 当j>=coins[i]时，根据已有的 i=1行可以推出一个规律，令a = 1+T[i][j-coins[i]]，T[i][j]= min(T[i-1][j],a)，即二者比较取最小值。可能一开始你看到这个关于a的公式，有点太突然，难以接受。稍微解释一下，当第i行，优先选择这一样的硬币，因为这一行的硬币面额最大，最有可能使得总硬币数量最少。因此j-coins[i]，就很好理解了，就是选择了这一行的硬币后，还剩下多少总额。举个例子，当i=1，j=3时，j-coins[1]=1。那么选择2分后，还剩余总额为1，这时候我们再定位到i=1，j=1，即T[1][1]，它的值为1，再加上一个常数1，即得最终结果2。

再举例，i=1 j=5。由于是从左到右填表的，所以i=1，j<5的表格都填完了。j-coins[i]=3，定位到T[1][3]=2，加上常数1，即得最后结果T[1][5]=3。

其实公式本身很短，也很好记。如果实在无法理解，建议先不用纠结。先最小化浏览器，不要看本篇剩余的内容。带着这个解题公式，自己在纸上，把这个表格填写完整，在填表分析的过程中就能慢慢理解了。

3. 剩余内容

按照上一步所提供的公式，其实所有的T[i][j]都可以填完了。如下表格。

建议先自己再纸上填表，填完了，再和我的图对比一下，看是否答案存在出入。

4.伪代码

以上的填表逻辑，使用伪代码表示如下

if(i == 0){
	T[i][j] = j/coins[i]; //硬币找零一定要有个 最小面额1，否则会无解
}else{
	if(j >= coins[i]){
		T[i][j] = min(T[i-1][j],1+T[i][j-coins[i]])
	
	}else{
		T[i][j] = T[i-1][j];
	}
}
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5. 寻找组合

至此，填完表格我们已经接近完成了。接下来要寻找从表格中寻找硬币组合。🤔

与填表顺序相反，寻找组合从有下角开始。

首先需要明确的是如果T[i][j] == T[i-1][j]，那么就向上搜索。根据图来分析：

1. 定位到T[3][11] ，由于不存在T[i][j] == T[i-1][j]，所以不用向上搜索，确定选中一个6分硬币。寻找组合的思路和填写T[i][j]的思路几乎是反过来的。

2. 选择一个6分硬币后，剩余的总额为11-6=5。因此定位到T[3][5]中。由于T[3][5]==T[2][5]，因此看图中的蓝色箭头，向上搜索，直到T[i][j] != T[i-1]。

3. 定位到T[2][5]中，此时coins[i]为5分。选中5分硬币只有，剩余的总额为5-5=0。

4. 当j=0时，搜索结束。由上面步骤确定选中的硬币组合为：1个5分，1个6分。

代码

以上就是整个最少硬币找零问题的分析思路。最终代码使用 JavaScript 实现，如果你的 Sublime 支持纯 JavaScript，你可以直接复制黏贴代码，command + b 直接运行查看结果，然后修改输入变量，查看更多情况下的输出结果。

//动态规划 -- 硬币找零问题
function minCoins(coins,total,n){
	var T = [];

	for(let i = 0;i<n;i++){
		T[i] = []
		for (let j=0;j<= total;j++){
			if(j == 0){
				T[i][j] = 0;
				continue;
			}

			if(i == 0){
				T[i][j] = j/coins[i]; //硬币找零一定要有个 最小面额1，否则会无解
			}else{
				if(j >= coins[i]){
					T[i][j] = Math.min(T[i-1][j],1+T[i][j-coins[i]])
			
				}else{
					T[i][j] = T[i-1][j];
				}
			}

		}

	}
	findValue(coins,total,n,T);

	return T;

}

function findValue(coins,total,n,T){
	var i = n-1, j = total;
	while(i>0 && j >0){
		if(T[i][j]!=T[i-1][j]){
			//锁定位置,确定i,j值，开始找构成结果的硬币组合。 其实根据这种计算方法，只需要考虑最右边那一列，从下往上推。
			//console.log(T[i][j]);
			break
		}else{
			i--;
		}
	}

	var s = []; //存储组合结果
	
	while(i >= 0 && j > 0 ){
		
		s.push(coins[i]);
		j=j-coins[i];
		if(j <= 0){
			break; //计算结束，退出循环
		}
		//如果 i == 0,那么就在第 0 行一直循环计算，直到 j=0即可
		if(i>0){
			//console.log(i);
			while(T[i][j] == T[i-1][j]){
				i--;
				if(i== 0){
					break;
				}
			}
		}
	}
	
	console.log(s);
	//可以把数组s return 回去



}


var coins = [1,2,5,6];
var total = 11
var n = coins.length

console.log(minCoins(coins,total,n));
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