二叉树基础上

1. 树(Tree)

首先我们来看几个树的例子。

《二叉树基础上》

在一个树结构里,每个元素我们称之为节点,从上到下相邻节点连线的关系,我们称之为父子关系

《二叉树基础上》

在上面的图中,A 节点就是 B 节点的父节点,B 节点就是 A 节点的子节点。B、C、D 这三个节点的父节点是同一个节点,所以它们之间互称为兄弟节点。另外,如果一个节点没有父节点,我们称之为根节点,比如上图中的 E 节点。没有子节点的节点称为叶子节点或者叶节点,比如上图中的 G、H、I、J、K、L 节点。

还有几个关于树的比较重要的概念:高度(Height)、深度(Depth)、层(Level),它们的定义如下。

《二叉树基础上》

高度其实就是从下往上计量,最下面的叶节点高度为 0,每向上一个节点,高度加 1。深度则是从上往下计量,根节点深度为 0,每向下一个节点,深度加 1。层则和深度类似,只不过根节点的层为 1,计数从 1 开始罢了。

《二叉树基础上》

2. 二叉树(Binary Tree)

树的结构多种多样,但我们最常用的还是二叉树。

二叉树,顾名思义,就是说每个节点最多有两个分叉,也就是两个子节点,分别为左子节点和右子节点。不过,二叉树并不要求每个结点都有两个子节点,而是最多只能有两个子节点。以此类推,四叉树、八叉树也和二叉树同理。

《二叉树基础上》

上图中,第 2 个二叉树中的叶子节点全都在最底层,而且,除了叶子节点外,每个节点都有左右两个子节点,这种二叉树就叫作满二叉树

第 3 个二叉树中的叶子节点都在最底下两层,最后一层的叶子节点都靠左排列,并且除了最后一层,其它层的节点个数都要达到最大,这种二叉树就叫作完全二叉树

《二叉树基础上》

完全二叉树为什么最后一层的叶子节点要靠左排列呢?这个定义有什么由来或者说目的在哪里呢?我们要从二叉树的存储方式来了解。想要存储一棵二叉树,我们有两种方法,一种是基于指针或者引用的二叉链式存储法,一种是基于数组的顺序存储法。

我们先来看比较简单、直观的链式存储法。其中,每个节点有三个字段,其中一个存储数据,另外两个分别是指向左右子节点的指针。

《二叉树基础上》

再来看基于数组的顺序存储法。我们把根节点存储在下标为 i = 1 的位置,左子节点就存储在下标为 2 * i = 2 的位置,右子节点就存储在下标为 2 * i + 1 = 3 的位置。以此类推,B 节点的左子节点 就存储在 2 * 2 = 4 的位置,右子节点就存储在 2 * 2 + 1 = 5 的位置。

《二叉树基础上》

也就是说,如果节点 X 存储在下标为 i 的位置,那下标为 2 * i 的位置存储的就是左子节点,下标为 2 * i + 1 的位置存储的就是右子节点,而且下标为 i / 2 的位置存储的就是其父节点。以这种方式存储,我们就可以通过根节点的位置很容易地把整棵树都串起来。

不过,刚才的情况是一棵完全二叉树,我们就浪费了数组中一个下标为 0 的位置。如果是一个非完全二叉树,那就会浪费比较多的数组存储空间。

《二叉树基础上》

所以,如果某棵树是完全二叉树,那用数组来存储无疑是最节省内存的方式,因为数组不需要额外的指针来指向左右子节点。因此,这也就是为什么完全二叉树会要求最后一层的子节点都靠左的原因。

3. 二叉树的遍历

二叉树的遍历有三种经典方法,前序遍历、中序遍历和后序遍历,其中,前、中、后序指的是节点和它的左右子树节点打印的先后顺序。

  • 前序遍历,就是对于树中的任意节点来说,先打印这个节点,然后再打印它的左子树,最后打印它的右子树。

  • 中序遍历,就是对于树中的任意节点来说,先打印它的左子树,然后再打印这个节点,最后打印它的右子树。

  • 后序遍历,就是对于树中的任意节点来说,先打印它的左子树,然后再打印它的右子树,最后打印这个节点。

《二叉树基础上》

可以看到,二叉树的遍历其实就是一个递归的过程。比如前序遍历,其实就是先打印根节点,然后再递归地打印左子树,最后递归地打印右子树。

void preOrder(Node* root) {
  if (root == null) return;
  print root // 此处为伪代码,表示打印 root 节点
  preOrder(root->left);
  preOrder(root->right);
}

void inOrder(Node* root) {
  if (root == null) return;
  inOrder(root->left);
  print root // 此处为伪代码,表示打印 root 节点
  inOrder(root->right);
}

void postOrder(Node* root) {
  if (root == null) return;
  postOrder(root->left);
  postOrder(root->right);
  print root // 此处为伪代码,表示打印 root 节点
}
复制代码

在遍历的过程中,每个节点最多会被访问两次,所以遍历的时间复杂度与节点的个数成正比,为 O(n)。

参考资料-极客时间专栏《数据结构与算法之美》

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《二叉树基础上》

    原文作者:算法小白
    原文地址: https://juejin.im/post/5bebdd73f265da612e2832e3
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