编程之美——最大公约数问题
求最大公约数是一个很基本的问题。早在公元前300年左右，欧几里得就在他的著作《几何原本》中给出了高效的解法——辗转相除法。辗转相除法使用到的原理很聪明也很简单，假设用f（x, y）表示x，y的最大公约数，取k = x/y，b = x%y，则x = ky + b，如果一个数能够同时整除x和y，则必能同时整除b和y；而能够同时整除b和y的数也必能同时整除x和y，即x和y的公约数与b和y的公约数是相同的，其最大公约数也是相同的，则有f（x, y）= f（y, y % x）（y > 0），如此便可把原问题转化为求两个更小数的最大公约数，直到其中一个数为0，剩下的另外一个数就是两者最大的公约数。辗转相除法更详细的证明可以在很多的初等数论相关书籍中找到，或者读者也可以试着证明一下。
示例如下：
f（42, 30）=f（30, 12）= f（12, 6）=f（6, 0）= 6
解法一：（辗转相除法）
最简单的实现，就是直接用代码来实现辗转相除法。从上面的描述中，我们知道，利用递归就能够很轻松地把这个问题完成。
具体代码如下：
int gcd(int x, int y)
{
return (!y)?x:gcd(y, x%y);
}
测试代码如下：
#include<iostream>
using namespace std;
int gcd(int x,int y)
{
return (!y)?x:gcd(y,x%y);
}
int main()
{
int a,b;
cin>>a>>b;
cout<<gcd(a,b)<<endl;
return 0;
}
在解法一中，我们用的了取模运算。但是对于大数而言，取模运算（其中运用到除法）是非常昂贵的开销，将成为整个算法的瓶颈，那有没有办法能够不用取模运算呢？ ，如果一个整数能够同时整除x,y那么就必须能够同时整除x-y,y也就是说x和y的最大公约数与x-y,和y的最大公约数是相同的，即f(x,y)=f(x-y,y);那么
就可以不再需要进行大整数的取模运算，而转换为简单得多的大整数的减法,在实际操作中，如果x<y那么就可以先交换（x,y）因为（f(x,y)=f(y,x)）,从而避免求一个正数和一个负数的最大公约数情况
例如：f(42,30)=f(12,30)=f(30,12)=f(18,12)=f(6,12)=f(12,6)=f(6,6)=f(6,0)=6;
int gcd2(int x,int y)
{
if (x<y)
{
return gcd2(y,x);
}
if (y==0)
{
return x;
}
else
return gcd2(x-y,y);
}
这个算法虽然避免了大整数的除法，但是同样也有瓶颈，迭代次数很多，如果遇到一个（99999999999,3）这类情况，那么就会迭代很多，效率也不是很高。
测试代码如下：
#include<iostream>
using namespace std;
int gcd(int x,int y)
{
if(x<y)
return gcd(y,x);
if(y==0)
return x;
else
return gcd(x-y,y);
}
int main()
{
int a,b;
cin>>a>>b;
cout<<gcd(a,b)<<endl;
return 0;
}
解法三：
解法一的问题在于计算负责的大整数的除法，解法二的问题在于迭代次数太多，
对于x,y如果x=k*x,y=k*y,那么f(y,x)=k*f(y1,x1),（具体过程看编程之美P152页）
另外如果x=p*x1,假设p是素数，并且y%p!=0(即y不能被p整除），那么f(x,y)=f(p*x1,y)=f(x1,y),注意到以上两点后，我们就可以对这两点算法进行改进。
最简单的方法：我们知道2是一个素数
1.若x,y都是偶数，f(x,y)=2*f(x/2,y/2)=2(x>>1,y>>1)
2.若x为偶数，y为奇数，f(x,y)=f(x/2,y)=f(x>>1,y)
3.若x为奇数，y为偶数f(x,y)=f(x,y/2)=f(x,y>>1)
4.若x为奇数，y为奇数f(x,y)=f(x,x-y),(x-y)之后是一个偶数，下一步一定会有除以2的操作
bool IsEvent(int x)
{
return x%2==0?true:false;
}
int gcd3(int x,int y)
{
if (x<y)
return gcd3(y,x);
if (y==0)
return x;
else
{
if (IsEvent(x))
{
if (IsEvent(y))
{
return (gcd3(x>>1,y>>1)<<1);
}
else
{
return (gcd3(x>>1,y));
}
}
else
{
if (IsEvent(y))
{
return (gcd3(x,y>>1));
}
else
{
return gcd3(y,x-y);
}
}
}
}
上面算法的时间复杂度为0(log2(max(x,y))).
测试代码如下：
#include<iostream>
using namespace std;
bool IsEven(int x)
{
if(x&0x01==1)
return false;
else
return true;
}
int gcd(int x,int y)
{
if(x<y)
return gcd(y,x);
if(y==0)
return x;
else
if(IsEven(x))
{
if(IsEven(y))
return (gcd(x>>1,y>>1)<<1);
else
return gcd(x>>1,y);
}
else
{
if(IsEven(y))
return gcd(x,y>>1);
else
return gcd(y,x-y);
}
}
int main()
{
int a,b;
cin>>a>>b;
cout<<gcd(a,b)<<endl;
return 0;
}
