题目:
给定一个长度为N的整数数组,只允许用乘法不允许用除法,计算N-1个数组合的乘积最大的一组,并写出算法的时间复杂度。
方法一:
最简单的计算就是把所有N-1个数的组合全找出来,共有C(N, N-1) = N 种情况,所以算法的复杂度为Ο(N2)。
#include<iostream> #include<cstdlib> #include<ctime> using namespace std; long long LevelOne(const int *d, unsigned int n) { long long ret; long long max; int i, j; for(i=0; i<n; i++) { for(j=0, ret=1; j<n; j++) { ret *= ((i==j) ? 1 : d[j]); if(ret == 0) break; } max = (i==0 ? ret : max); max = (max<=ret ? ret : max); } return max; } int main() { const int maxsize = 10; int data[maxsize]; long long max; srand(time(NULL)); for(int i=0; i<maxsize; i++) data[i] = ((rand()%10<2) ? -1:1) * (rand()%10); for(int i=0; i<maxsize; i++) cout<<data[i]<<" "; cout<<endl; max = LevelOne(data, maxsize); cout<<"max: "<<max<<endl; return 0; }
方法二:
对于数组A[N],假设这样思考假设去除第i个元素的乘积可以表示为A[0]*A[1]*…A[i-1] * A[i+1]*A[i+2]*…A[N-1],则可以写出如下算法满足复杂度为Ο(N)。 1.算出A[0]~A[N-1],N个元素的乘积赋值给M 2.定义变量i=N-1, R=1,和数组p[N] 3.如果i==0 p[0] = A[0] 返回 4.如果i>=0 重复步骤5 5.M /= A[i]; p[i] = M*R; R *= A[i] 但是本算法使用了除法,而规定不允许,所以可以做个小的调整。设f[i]=A[0]*A[1]*…A[i], r[i]=A[i]*A[i+1]*…A[N]则p[i] = f[i-1]*r[i+1]。
long long LevelTwo(const int *d, unsigned int n) { int *f = new int [n]; int *r = new int [n]; long long *p = new long long [n]; long long max; assert(f!=0 && r!=0 && p!=0); long long fv=1, rv=1; for(int i=0; i<n; i++) { int j = n-i-1; fv *= d[i]; rv *= d[j]; f[i] = fv; r[j] = rv; } max = p[0] = r[1]; for(int i=1; i<n; i++) { p[i] = f[i-1] * r[i+1]; max = max<p[i] ? p[i] : max; } delete [] f; delete [] r; delete [] p; return max; }
方法三:
虽然以上算法已经将复杂度降到了Ο(N)了,但还是可以进一步减少计算量。子数组最大乘积问题可以分为以下几种情况。
1.数组中有多于一个零则最大乘积为0;
2.数组中只有一个零,而有奇数个负数,则最大乘积必定为0;
3.数组中只有一个零,而有偶数个负数,则最大乘积为除去0的元素的乘积;
4.数组中没有零,而有奇数个负数,则最大乘积为除去绝对值最小的负数的乘积;
5.数组中没有零,而有偶数个负数,则最大乘积为除去最小的正数的乘积。
long long LevelThree(int *d, int n) { int n_zero = 0; int n_neg = 0; int maxneg = 0; int minpos = 0; int maxnegi = 0; int minposi = 0; int zeroi = 0; int out; long long max = 1; for(int i=0; i<n; i++) { if(d[i] < 0) { n_neg++; if(maxneg == 0) { maxneg = d[i]; maxnegi = i; } else if(maxneg<d[i]) { maxneg = d[i]; maxnegi = i; } } else if(d[i] == 0) { zeroi = i; if(++n_zero>1) return 0; } else { if(minpos == 0) { minpos = d[i]; minposi = i; } else if(minpos > d[i]) { minpos = d[i]; minposi = i; } } } if(n_zero==1 && n_neg%2==1) { return 0; } else if(n_zero==1 && n_neg%2==0) { out = zeroi; } else if(n_zero==0 && n_neg%2==1) { out = maxnegi; } else if(n_zero==0 && n_neg%2==0) { out = minposi; } for(int i=0; i<n; i++) { max *= (i==out)?1:d[i]; } return max; }