昨天看到一道题目，问题描述是这样的：

100个人排队上飞机，飞机上有100个座位，每个人对应一个座位，队首的人是个瞎子，上飞机后随便坐，后面的人都尽量找自己的座位，如果已经被占，则随机做，问第100个人坐到自己座位的概率。

开始想从第一个人开始递推，结果此路不通。后来google了一下发现有人说这是编程之美上的题目，遂找了份电子版翻了翻，里面“金刚坐飞机”这一小节讲述了该问题的解法。看了其分析过程得到解题启发，上题其实就是书中得出的一般结论的特殊情况。

首先利用条件概率将整个概率空间进行划分，假设金刚坐到位置i的条件下第100个人坐到自己座位的概率为f(i)，则原题的解为

P = 1/n (f(1) + f(2) + … + f(99) + f(100))

显然有f(100) = 0，我们反着递推，

f(99) = 1/2

f(98) = 1/3 + 1/3 * f(99)

f(97) = 1/4 + 1/4 * (f(98) + f(99))

…

数学归纳法得

f(i) = [1/(100 – i + 1)](1+ f(i+1) + f(i+2) + … + f(99))

之后想办法得到通项公式。我先采取的办法是取i为i + 1,意图建立f(i)和f(i+1)的关系式。结果最后推出(101-i)[f(i+1)-f(i)] = 0,101-i>0,故f(i+1)恒等于f(i)，这个结果很意外。回去演算一下，果然f(99)=1/2, f(98) = 1/2….。早知道开始先算出几个结果试验一下了，这样就不用算递推算半天了。

于是我们有f(i) = 1/2, 所以P = 1/100 * 1/2 * 98 + 1/100 = 50/100 = 1/2。98是因为需要排除金刚坐在自己位置或者第100号座位上的情况排除掉；当金刚坐在正确位置上时，100号乘客必然坐在正确位置上。综合两者，得到最终结果1/2。

编程之美上有一个一般结论，说第i个乘客坐在自己位置上的概率为(N-i+1)/(N-i+2)，其中N为座位总数（乘客总数），上题中恰好N=i，故结果为1/2，看来是算对了。之后仔细推敲了一下它的结论，个人觉得是有问题的。

一直到f(n)= (N-i+1)/(N-i+2)当1<n<i时，以及最终(1/N) * f(n)该式对n = 1直到N求和都是没问题的，但就此推出结果为(N-i+1)/(N-i+2)让我有些不解。关键问题在于它里面f(1)=1这个结论是怎么来的，f（1）明显不等于1，难道它认为金刚的正确位置是1吗？

个人认为这里要分两种情况讨论，金刚的正确位置在i之前或者之后，如果金刚的正确位置在i之前，则书中的结论完全正确，要是之后的话。。。就是另外一个答案了。上题中恰好要求的是最后一个乘客，所以金刚的正确位置必然在此之前，可以套用书上结论求得。

不知道想错没有。