之前重温本书写书评时，也尝试找寻更好的编程解法。今天把另一个问题的实现和大家分享。
问题定义
给定一棵二叉树，要求按分层遍历该二叉树，即从上到下按层次访问该二叉树(每一层将单独输出一行)，每一层要求访问的顺序为从左到右，并将节点依次编号。下面是一个例子:
输出:
1 2 3 4 5 6 7 8
节点的定义:
| 1 2 3 4 5 | struct Node { Node *pLeft; Node *pRight; int data; }; |
书上的解法
书上举出两个解法。第一个解法是用递归方式，搜寻并打印某一层的节点，再打印下一层的节点。这方法简单但时间效率不高(但不需要额外空间)，因此书中亦提供了第二个解法。
书中第二个解法，使用vector容器来储存n个节点信息，并用一个游标变量last记录前一层的访问结束条件，实现如下:
| 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 | void PrintNodeByLevel(Node* root) { vector<Node*> vec; // 这里我们使用STL 中的vector来代替数组，可利用到其动态扩展的属性 vec.push_back(root); int cur = 0; int last = 1; while (cur < vec.size()) { Last = vec.size(); // 新的一行访问开始，重新定位last于当前行最后一个节点的下一个位置 while (cur < last) { cout << vec[cur] -> data << " " ; // 访问节点 if (vec[cur] -> lChild) // 当前访问节点的左节点不为空则压入 vec.push_back(vec[cur] -> lChild); if (vec[cur] -> rChild) // 当前访问节点的右节点不为空则压入，注意左右节点的访问顺序不能颠倒 vec.push_back(vec[cur] -> rChild); cur++; } cout << endl; // 当cur == last时,说明该层访问结束，输出换行符 } } |
广度优先搜索
书中没有提及，本问题其实是以广度优先搜索(breath-first search, BFS)去遍历一个树结构。广度优先搜索的典型实现是使用队列(queue)。其伪代码如下:
| 1 2 3 4 5 6 7 | enqueue(Q, root) do node = dequeue(Q) process(node) //如把内容列印 for each child of node enqueue(Q, child) while Q is not empty |
书上的解法，事实上也使用了一个队列。但本人认为，使用vector容器，较不直觉，而且其空间复杂度是O(n)。
如果用队列去实现BFS，不处理换行，能简单翻译伪代码为C++代码:
| 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 | void PrintBFS(Node* root) { queue<Node*> Q; Q.push(root); do { Node *node = Q.front(); Q.pop(); cout << node->data << " " ; if (node->pLeft) Q.push(node->pLeft); if (node->pRight) Q.push(node->pRight); } while (!Q.empty()); } |
本人觉得这样的算法实现可能比较清楚，而且空间复杂度只需O(m)，m为树中最多节点的层的节点数量。最坏的情况是当二叉树为完整，m = n/2。
之后的难点在于如何换行。
本人的尝试之一
第一个尝试，利用了两个队列，一个储存本层的节点，另一个储存下层的节点。遍历本层的节点，把其子代节点排入下层队列。本层遍历完毕后，就可换行，并交换两个队列。
| 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 | void PrintNodeByLevel(Node* root) { deque<Node*> Q1, Q2; Q1.push_back(root); do { do { Node* node = Q1.front(); Q1.pop_front(); cout << node->data << " " ; if (node->pLeft) Q2.push_back(node->pLeft); if (node->pRight) Q2.push_back(node->pRight); } while (!Q1.empty()); cout << endl; Q1.swap(Q2); } while (!Q1.empty()); } |
本实现使用deque而不是queue，因为deque才支持swap()操作。注意，swap()是O(1)的操作，实际上只是交换指针。
这实现要用两个循环(书上的实现也是)，并且用了两个队列。能够只用一个循环、一个队列么?
本人的尝试之二
换行问题其实在于如何表达一层的结束。书上采用了游标，而第一个尝试则用了两个队列。本人想到第三个可行方案，是把一个结束信号放进队列里。由于使用queue<Node*>，可以插入一个空指针去表示一层的遍历结束。
| 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 | void PrintNodeByLevel(Node* root) { queue<Node*> Q; Q.push(root); Q.push(0); do { Node* node = Q.front(); Q.pop(); if (node) { cout << node->data << " " ; if (node->pLeft) Q.push(node->pLeft); if (node->pRight) Q.push(node->pRight); } else if (!Q.empty()) { Q.push(0); cout << endl; } } while (!Q.empty()); } |
这个实现的代码很贴近之前的PrintBFS()，也只有一个循环。注意一点，当发现空指针(结束信号)时，要检查队列内是否还有节点，如果没有的话还插入新的结束信号，则会做成死循环。
测试代码
| 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 | void Link(Node* nodes, int parent, int left, int right) { if (left != -1) nodes[parent].pLeft = &nodes[left]; if (right != -1) nodes[parent].pRight = &nodes[right]; } void main() { Node test1[9] = { 0 }; for ( int i = 1; i < 9; i++) test1[i].data = i; Link(test1, 1, 2, 3); Link(test1, 2, 4, 5); Link(test1, 3, 6, -1); Link(test1, 5, 7, 8); PrintBFS(&test1[1]); cout << endl << endl; PrintNodeByLevel(&test1[1]); cout << endl; } |
结语
第一个尝试是几个月前做的，没想到今晚写博文又想到了第二个尝试。两个尝试难分优劣，但两种思维或许也可以解决其他问题。还有其他方法么？
