编程之美3：最大公约数问题

分类： Beauty of Programming
2013-10-01 15:31 
106人阅读 
评论(0) 
收藏 
举报
解法一：（辗转相除法）
假设用f（x, y）表示x，y的最大公约数，取k = x/y，b = x%y，则x = ky + b。如果一个数能够同时整除x和y，则必能同时整除b和y；而能够同时整除b和y的数也必能同时整除x和y，即x和y的公约数与b和y的公约数是相同的，其最大公约数也是相同的，则有f（x, y）= f（y, y % x）（y > 0），如此便可把原问题转化为求两个更小数的
最大公约数，直到其中一个数为0，剩下的另外一个数就是两者最大的公约数。
示例如下：

f（42, 30）=f（30, 12）= f（12, 6）=f（6, 0）= 6

代码如下：

[cpp] 
view plain
copy

1. int gcd(int x, int y)  
2. {  
3.     return (!y)?x:gcd(y, x%y);  
4. }  

解法二：在解法一中，我们用的了取模运算。但是对于大数而言，取模运算（其中运用到除法）是非常昂贵的开销，将成为整个算法的瓶颈，那有没有办法能够不用取模运算呢？ ，如果一个整数能够同时整除x,y那么就必须能够同时整除x-y,y也就是说x和y的最大公约数与x-y,和y的最大公约数是相同的，即f(x,y)=f(x-y,y);那么就可以不再需要进行大整数的取模运算，而转换为简单得多的大整数的减法,在实际操作中，如果x<y那么就可以先交换（x,y）因为（f(x,y)=f(y,x)）,从而避免求一个正数和一个负数的最大公约数情况

例如：f(42,30)=f(12,30)=f(30,12)=f(18,12)=f(6,12)=f(12,6)=f(6,6)=f(6,0)=6;

[cpp] 
view plain
copy

1. int gcd2(int x,int y)  
2. {  
3.  if (x<y)  
4.  {  
5.   return gcd2(y,x);  
6.  }  
7.  if (y==0)  
8.  {  
9.   return x;  
10.  }  
11.  else  
12.   return gcd2(x-y,y);  
13. }  

这个算法虽然避免了大整数的除法，但是同样也有瓶颈，迭代次数很多，如果遇到一个（99999999999,3）这类情况，那么就会迭代很多，效率也不是很高。

解法三：

解法一的问题在于计算负责的大整数的除法，解法二的问题在于迭代次数太多，

对于x,y如果x=k*x1,y=k*y1,那么f(y,x)=k*f(y1,x1）

另外如果x=p*x1,假设p是素数，并且y%p!=0(即y不能被p整除），那么f(x,y)=f(p*x1,y)=f(x1,y),注意到以上两点后，我们就可以对这两点算法进行改进。

最简单的方法：我们知道2是一个素数

1.若x,y都是偶数，f(x,y)=2*f(x/2,y/2)=2f(x>>1,y>>1)

2.若x为偶数，y为奇数，f(x,y)=f(x/2,y)=f(x>>1,y)

3.若x为奇数，y为偶数f(x,y)=f(x,y/2)=f(x,y>>1)

4.若x为奇数，y为奇数f(x,y)=f(x,x-y),(x-y)之后是一个偶数，下一步一定会有除以2的操作

[cpp] 
view plain
copy

1. bool IsEven(int x)//判断x是否为偶数   
2. {  
3.  return x%2==0?true:false;  
4. }  
5. int gcd3(int x,int y)  
6. {  
7.  if (x<y)  
8.   return gcd3(y,x);  
9.  if (y==0)  
10.   return x;  
11.  else  
12.  {  
13.   if (IsEvent(x))  
14.   {  
15.    if (IsEvent(y))  
16.    {  
17.     return (gcd3(x>>1,y>>1)<<1);  
18.    }  
19.    else  
20.    {  
21.     return (gcd3(x>>1,y));  
22.    }  
23.   }  
24.   else  
25.   {  
26.    if (IsEvent(y))  
27.    {  
28.     return (gcd3(x,y>>1));  
29.    }  
30.    else  
31.    {  
32.     return gcd3(y,x-y);  
33.    }  
34.   }  
35.  }  
36. }  

上面算法的时间复杂度为0(log2(max(x,y))).

分享到： 

上一篇：
编程之美2：精确表达浮点数