问题

题目：有一个桶，里面有白球、黑球各100个，人们必须按照以下的规则把球取出来：

1、每次从桶里面拿出来两个球；

2、如果是两个同色的球，就再放入一个黑球；

3、如果是两个异色的球，就再放入一个白球；

问：最后桶里面只剩下一个黑球的概率是多少？【100%】

思路一：用具体的方法来进行讨论

可以用一个set（黑球，白球）来表示桶中的黑球和白球的输入

根据规则，拿出两球放入一球，每次操作桶中的球都会少一个，所以数目应该是可控的。

定义相应的数学关系表示操作：

（-2，0）+（1，0） = （-1，0） 取出两个黑球，放入一个黑球，最后相当于取出一个黑球，依此类推

（0，-2）+（1，0）=（1，-2）

（-1，-1）+（0，1）=（-1，0）

从上述推断可以看出：

1 每次操作都会减少一球，所以最后剩下黑球或者白球

2 由于白球每次操作要么不变，要么成对减少，所以最后不可能剩余一个白球，那么必然是剩余黑球了

实践操作，可以以(2,2)做一次演示

第一次操作后的情况为（1，2）或者是（3，0）

对于（1，2）第二次操作后的情况为（2，0）或者（0，2）

对于（3，0），第二次操作后的情况为（2，0）

第三步操作无论哪种情况，随后都只能为（1，0）

思路二：用抽象的方法来解决

根据上述条件，可以用异或的方法来解决：

两个同色的球，放入一个黑球，所以让黑球为0，白球为1

对每次操作其实就是捞出两个数做一次异或操作，然后将所得的结果（1或者0）丢入桶中，这样操作的过程不会改变所有球权值的异或值

异或满足结合律或者交换律，所以取球的过程就是对所有的球进行异或，就是100个1和100个0的异或过程

因此，剩下一个球的时候，桶中的权值等于厨师时刻所有球权值的异或值，也就是0，所以剩下一个球一定是黑球

实践：

依然以（2，2）为例说明 所以黑球2个就代表2个数字0 白球2个代表有2个数字1

那么就是0 0 1 1

假设先取出2个白球 1 XOR 1 = 0 所以此时结果为0 0 0

取出2个黑球 结果就是0 XOR 0 = 0 所以此时结果为0 0

最后再取出两个黑球 异或结果是黑球

总结：分析复杂问题，最有效的方法就是通过简单的例子进行分析，然后根据归纳出的结论分析结果。适当的数学抽象在解决问题的过程中往往有华龙点金的作用

拓展问题：

1 如果桶中黑白球各为99个 结果如何？

根据前面的总结可知，只需要对所有数字进行异或，结果为1，所以最后剩一个白球

2 如果黑白数量不定？

其实不用在乎球的数量，只需要看最后异或运算的值即可

参考 hold_on2014 文章