题目大意如下：
N块石头排列成一行，每块石头对应一个编号。两个玩家依次取石头，每次取只能取任意一块或者相邻的两块。
石头在游戏过程中不能移位，最后将剩下的石头一次取光的玩家获胜。
问：该游戏是否存在必胜策略。
拓展问题：
1. 若最后取光石头的人输，又该如何应对？
2. 两人轮流取，每次最少取一块，最多取K块，最后取走石头的人赢得游戏。如何应对？
———-一些想法——————–
对于原问题
注意取石头的规则，只能取一块或相邻两块。
假设玩家分别为A和B 先从A开始取。
分析一些特例：
N = 1 A肯定能赢。
N = 2 A肯定能赢。
N = 3 A取走中间位置的石头 那么剩下的B只能先取走一块，最后一块A取走。 所以还是A赢。
N = 4 A取走中间位置的两颗 剩下的与N = 3类似 还是A赢。
从以上的一些特例可以得出：
无论N 为奇数还是偶数，A先从最中间的位置取石头(一块or相邻两块)
剩下的两部分 B取哪个位置 A就取另一部分对称位置的石子。
这样 A也可以赢。
所以 按照上述策略 总可以保证第一个取石子的玩家赢得游戏。
对于扩展问题1
还是举例子分析：
N = 1 A肯定输了。
N = 2 A赢。
N = 3 A赢。
N = 4 A肯定输了。
【
~A取一块 B就取两块 剩下的一块必定是A取到 A输
~A取两块 B就取一块 剩下的一块必定是A取到 A输
】
N = 5 A取一块 问题转换为 N = 4的情形 因此 A赢。
N = 6 A取最前两块 问题转换为 N = 4的情形 因此 A赢。
找规律：大致推测 N = 3*n + 1时 A输。其余情况 A赢。
【暂时认为上面推测是正确的】
下面分析一下：
A取完一块 or 两块后可能出现的情形有以下几种：
【这时候轮到后手取石子】
① 剩下的石子是一部分 若这部分是必输的状态，则先手赢。
② 剩下的石子是两部分
一、 两部分都是必赢态 此时A肯定输了。
二、两部分都是必赢态 双方玩家都希望自己能第一部分输，而不是赢。
因此这时候是无法判断的。
三、一部分是必赢态 一部分是必输态
若后手先取必输态内的石子 先手赢。
若后手先取必赢态内的石子 这时候是无法判断的。
【因为都希望自己在必赢态中失败 以让对方先取必输态内的石子】
因此似乎不存在必赢态，在N > 6时 是需要双方进行博弈的。
举个例子证明 N = 3 * n + 1不是必输态。
N = 7 {1 2 3 4 5 6 7}
A先取4 剩下两部分 {1 2 3} {5 6 7}
接下来B可以选择：
—— B取一块石子
① B取边缘的石子{1} => {2 3} {5 6 7}
A取{7} => {2 3} {5 6}
B取一块 比如{2} => {2} {5 6}
A取{5 6} 剩下的是B取到。
B取两块 比如{2 3} => {5 6}
A取{5} 剩下的还是B取到。
因此 A赢。
② B取中间的石子{2} => {1 3} {5 6 7}
A取{5 6} => {1 3} {7}
剩下的石子都是单独的 一次只能取一块 最终A赢。
—— B取两块石子
B取{1 2} => {3} {5 6 7}
A取{6} => {3} {5 7} 最终A赢。
这是一个反例 说明 并不是 N = 3*n + 1 是必输态。
另一些思路：
参考网络的资料 给出了N = 7时 必赢的策略。
在此感谢~
详见：Aleee ——NIM（1）一排石头的游戏之扩展问题解法
作者利用程序写出了递归求解思路，并给出了C#的算法。
算法复杂度是一个问题 求解时间很长。
下面给出 N = 7时 必赢策略。
A取第2块石子。 => {1} {3 4 5 6 7}
首先定义几种必输态。
LOSE1 —— {1 1 1} 先必比输
LOSE2 —— {2 2} 先手必输
LOSE3 —— {4} 先手必输
{4} 先手必输
接下来 遍历 B取石子的所有可能性。
① B取{1} A{3} ==> LOSE3
② B{3} A{1} ==> LOSE3
③ B取{4} A{5 6} ==> LOSE1
④ B取{5} A{1} ==> LOSE2
⑤ B取{6} A{3 4} ==> LOSE1
⑥ B取{7} A{1} ==> LOSE3
⑦ B取{3 4} A{6} ==> LOSE1
⑧ B取{4 5} A{6} ==> LOSE1
⑨ B取{5 6} A{3} ==> LOSE1
⑩ B取{6 7} A{4} ==> LOSE1
对于扩展问题2
这里每个玩家每次可以取1 ~ K块石子。
① K >= N时 A必赢。
② K < N时 每一轮保证两个玩家总共取的石子数为【K + 1】
【
为什么是K + 1 ? 这个数是我们从必赢的角度看要满足的条件。
玩家A取了X块石子 B可以选(K + 1-X)块石子 这一轮完成。
X = 1 那么B可以取K个。
X = K 那么B可以取1个。
如果不是K + 1
比如是 K 那么玩家A取K个 玩家B至少取一个 一轮总数大于K 那么必然无法满足必赢策略。
比如是 K + 2 那么玩家A取1个 玩家B最多取K个 一轮总数小于 K + 2 那么必然也无法满足必赢策略。
同理 对于 任意小于(K + 1) 和大于 (K + 1)的数 必赢策略都无法满足。
】
令 N = a * (K + 1) + b
【a肯定会≥1 <======= N > K 那么至少 N = K + 1】
如果 b = 0 说明玩家可以进行a轮取石子游戏。 那么这时候B必赢。
如果 b != 0 那么先手玩家先取b-1块石子
之后B取X块石子 那么下一轮A就取(K +1 – X)块石子
这样可以保证最后一轮 轮到A取到最后一块石子。 A必赢。
综上：
N % (K + 1) = 0时 B必赢。
其余情况 A必赢。
因此 K 很大 N随机的情况下 先手获胜的概率很大~
