算法导论之红黑树 - 插入[C语言]

2023年3月7日 355次阅读来源: 算法小白

作者：邹祁峰
邮箱：Qifeng.zou.job@gmail.com
博客：http://blog.csdn.net/qifengzou
日期：2013.12.24 21:00
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1 引言

在之前的博文中，本人对平衡二叉树的处理做了较详尽的分析，有兴趣的朋友可以参阅博文《算法导论之平衡二叉树 – 创建插入搜索销毁》和《算法导论之平衡二叉树 – 删除》。平衡二叉树AVL是严格的平衡树，在增删结点时，其旋转操作的次数较多；而红黑树RBT则通过非严格的平衡来换取增删结点时旋转次数的降低。在应用中，如果搜索次数大于增删次数，则选择平衡二叉树更好一些；而如果搜索与增删次数接近时，红黑树则是更好的选择。在有些资料中显示，红黑树的统计性能要优于平衡二叉树。

2 性质分析

红黑树是一种二叉查找树，但在每个节点上增加一个存储位表示结点的颜色[RED或BLACK]。通过对任一结点到叶子结点的路径上各个结点着色方式的限制，确保没有一条路径会是其他路径的2倍，因而是接近平衡的！因此，它能保证在最坏情况下，基本的动态集合操作的时间复杂度为O(log2@N)[log2@N:以2为底数，N为对数]。[注：理论上平衡二叉树的性能要优于红黑树，但是仍处同一数量级]

《算法导论之红黑树 - 插入[C语言]》

图1 红黑树

红黑树有以下5种性质，所有对红黑树的处理都是围绕这5种性质进行的。但是想通过以下5种性质的简单描述就期望能够深入理解红黑树，这似乎是不太可能的事情。因此，下面将结合图1对其5种性质进行分别的解析。

①、每个节点要么是红色的，要么是黑色的；

解析：任何一个结点都有一种颜色 —— 非红即黑。从图1中可以清楚的看出这一点。

②、根结点是黑色的；

解析：根结点只能为黑色，不可能为红色。如图1中的根结点为13，其为黑色。

③、所有叶子结点（NIL）都是黑色的；

解析：在图1中的所有叶子结点（NIL）的颜色只能为黑色的，不可能为红色。

④、如果一个结点是红色，则它的两个儿子都是黑色的；

解析：如图1中的结点6、8、17、22、27为红色结点，其左右孩子结点只能为黑色。即：树中决不允许存在两个连续的红色结点。[注：但是允许两个连续的黑色结点]

⑤、对任何一个结点，从该结点通过其子孙结点到达叶子结点（NIL）的所有路径上包含相同数目的黑结点。

解析：以根结点为例，其通过子孙结点到达叶子节点（NIL）的路径有如下几种情况：

路径1：13(b) -> 8(r) -> 1(b) -> 叶子(b) | 3个黑结点：13、1、叶子

路径2：13(b) -> 8(r) -> 11(b) -> 叶子(b) | 3个黑结点：13、11、叶子

路径3：13(b) -> 8(r) -> 1(b) -> 6(r) -> 叶子(b) | 3个黑结点：13、1、叶子

路径4: 13(b) -> 17(r) -> 25(b) -> 22(r) -> 叶子(b) | 3个黑结点：13、25、叶子

路径5: 13(b) -> 17(r) -> 25(b) -> 27(r) -> 叶子(b) | 3个黑结点：13、25、叶子

路径6: 13(b) -> 17(r) -> 15(b) -> 叶子(b) | 3个黑结点：13、15、叶子

….

至此，大家应该能够明白性质⑤的真实含义了。

为了便于处理红黑树代码的边界条件，我们采用一个哨兵来代表NIL。对于一个红黑树而言，哨兵NIL是一个与树内普通结点有相同域的对象。它的color域为BLACK，而其他域（parent，lchild，rchild和key）的值我们并不关心。

总之，红黑树是通过以上5种性质的限制约束了该树的平衡性能 —— 即：该树上的最长路径长度不可能大于最短路径长度的2倍，从而确保对树操作的时间复杂度达到O（log2@N）。

3 编码实现

3.1 结构定义

①、常值定义：增强代码可读性、方便代码修改

/* 常值定义 */
#define RBT_COLOR_BLACK    'b'     /* 颜色：黑色 */
#define RBT_COLOR_RED      'r'     /* 颜色：红色 */

#define RBT_LCHILD         (0)     /* 类型：左孩子 */
#define RBT_RCHILD         (1)     /* 类型：右孩子 */

#define RBT_MAX_DEPTH      (512)   /* 栈的深度(栈处理红黑树时使用) */

代码1 常值定义

②、节点结构：在二叉查找树的结构基础上，新增color字段

/* 结点结构 */
typedef struct _rbt_node_t
{
    int key;                        /* 关键字 */
    int color;                      /* 结点颜色: RBT_COLOR_BLACK(黑) 或 RBT_COLOR_RED(红) */
    struct _rbt_node_t *parent;     /* 父节点 */
    struct _rbt_node_t *lchild;     /* 左孩子节点 */
    struct _rbt_node_t *rchild;     /* 右孩子节点 */
}rbt_node_t;

代码2 结点结构
③、树结构：sentinel字段用于表示叶子结点（NIL）。当树内结点的左（右）孩子为叶子结点时，则将左（右）孩子指针指向sentinel字段。

/* 红黑树结构 */
typedef struct
{
    rbt_node_t *root;               /* 根节点 */
    rbt_node_t *sentinel;           /* 哨兵节点 */
}rbt_tree_t;

代码3 树结构
④、错误码：用来记录错误返回的类型，以便快速的确定程序中存在的异常

/* 错误码 */
typedef enum
{
    RBT_SUCCESS                     /* 成功 */
    , RBT_FAILED = ~0x7fffffff      /* 失败 */
    , RBT_NODE_EXIST                /* 结点存在 */
}rbt_ret_e;

代码4 错误码
⑤、宏定义：可有效的增强代码的简洁性、复用性、易读性

#define rbt_set_color(node, c)  ((node)->color = (c))
#define rbt_set_red(node)   rbt_set_color(node, RBT_COLOR_RED)
#define rbt_set_black(node) rbt_set_color(node, RBT_COLOR_BLACK)
#define rbt_is_red(node)    (RBT_COLOR_RED == (node)->color)
#define rbt_is_black(node)   (RBT_COLOR_BLACK == (node)->color)

/* 设置左孩子 */
#define rbt_set_lchild(tree, node, left) \
{ \
    (node)->lchild = (left); \
    if (tree->sentinel != left) { \
        (left)->parent = (node); \
    } \
}

/* 设置右孩子 */
#define rbt_set_rchild(tree, node, right) \
{ \
    (node)->rchild = (right); \
    if (tree->sentinel != right) { \
        (right)->parent = (node); \
    } \
}

/* 设置孩子节点 */
#define rbt_set_child(tree, node, type, child) \
{ \
    if (RBT_LCHILD == type) { \
        rbt_set_lchild(tree, node, child); \
    } \
    else { \
        rbt_set_rchild(tree, node, child); \
    } \
}

代码5 宏定义

3.2 创建对象

创建的初始红黑树对象是一棵空树，其根节点为NULL，但是此时必须为叶子结点（哨兵）分配好空间，并将叶子结点的颜色置为黑色（性质3），以方便后续对树的操作处理。

/******************************************************************************
 **函数名称: rbt_creat
 **功    能: 创建红黑树对象(对外接口)
 **输入参数: NONE
 **输出参数: NONE
 **返    回: 红黑树对象地址
 **实现描述: 
 **注意事项: 
 **     1、每个结点要么是红色的，要么是黑色的；
 **     2、根结点是黑色的；
 **     3、所有叶子结点（NIL）都是黑色的；
 **     4、如果一个结点是红色，则它的两个儿子都是黑色的；
 **     5、对任何一个结点，从该结点通过其子孙结点到达叶子结点（NIL）
 **         的所有路径上包含相同数目的黑结点。
 **作    者: # Qifeng.zou # 2013.12.24 #
 ******************************************************************************/
rbt_tree_t *rbt_creat(void)
{
    rbt_tree_t *tree = NULL;
    
    tree = (rbt_tree_t *)calloc(1, sizeof(rbt_tree_t));
    if (NULL == tree) {
        return NULL;
    }

    tree->sentinel = (rbt_node_t *)calloc(1, sizeof(rbt_node_t));
    if (NULL == tree->sentinel) {
        free(tree);
        return NULL;
    }

    tree->sentinel->color = RBT_COLOR_BLACK;
    tree->root = tree->sentinel;

    return tree;
}

代码6 创建对象

3.3 旋转处理

在插入和删除过程中，可能破坏红黑树的5个性质之一，和平衡二叉树的处理相似，可通过旋转来恢复红黑树的性质，但红黑树的旋转只有右旋和左旋2种。
右旋处理：
以结点N为支点，进行右旋转的处理描述：结点N的左孩子A取代N的位置，并将结点A的右孩子AR作为结点N的左孩子，再将结点N作为结点A的右孩子。
《算法导论之红黑树 - 插入[C语言]》

图2 右旋处理
[注：旋转过程并不关注结点颜色]
右旋处理对应的代码如下所示：

/******************************************************************************
 **函数名称: rbt_right_rotate
 **功    能: 右旋处理
 **输入参数: 
 **     tree: 红黑树
 **     node: 旋转支点
 **输出参数: NONE
 **返    回: RBT_SUCCESS:成功 RBT_FAILED:失败
 **实现描述: 
 **        G                       G
 **        |                       |
 **        N            ->         L
 **      /   \                   /   \
 **     L     R                 LL    N
 **    / \   / \                     / \
 **   LL LR RL RR                   LR  R
 **                                    / \
 **                                   RL RR
 **            说明: 节点N为旋转支点
 **注意事项: 
 **作    者: # Qifeng.zou # 2014.01.15 #
 ******************************************************************************/
void rbt_right_rotate(rbt_tree_t *tree, rbt_node_t *node)
{
    rbt_node_t *parent = node->parent, *lchild = node->lchild;
    
    if (tree->sentinel == parent) {
        tree->root = lchild;
        lchild->parent = tree->sentinel;
    }
    else if (node == parent->lchild) {
        rbt_set_lchild(tree, parent, lchild);
    }
    else {
        rbt_set_rchild(tree, parent, lchild);
    }
    rbt_set_lchild(tree, node, lchild->rchild);
    rbt_set_rchild(tree, lchild, node);
}

代码7 右旋处理
左旋处理：
以结点N为支点，进行右旋转的处理描述：结点N的左孩子B取代N的位置，并将结点B的左孩子BL作为结点N的右孩子，再将结点N作为结点B的左孩子。

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图3 左旋处理
[注：旋转过程并不关注结点颜色]

左旋处理对应的代码如下：

/******************************************************************************
 **函数名称: rbt_left_rotate
 **功    能: 左旋处理
 **输入参数: 
 **     tree: 红黑树
 **     node: 旋转支点
 **输出参数: NONE
 **返    回: RBT_SUCCESS:成功 RBT_FAILED:失败
 **实现描述: 
 **        G                       G
 **        |                       |
 **        N            ->         R
 **      /   \                   /   \
 **     L     R                 N    RR
 **    / \   / \               / \
 **   LL LR RL RR             L  RL
 **                          / \
 **                         LL LR
 **            说明: 节点N为旋转支点
 **注意事项: 
 **作    者: # Qifeng.zou # 2014.01.15 #
 ******************************************************************************/
void rbt_left_rotate(rbt_tree_t *tree, rbt_node_t *node)
{
    rbt_node_t *parent = node->parent, *rchild = node->rchild;
    
    if (tree->sentinel == parent) {
        tree->root = rchild;
        rchild->parent = tree->sentinel;
    }
    else if(node == parent->lchild) {
        rbt_set_lchild(tree, parent, rchild);
    }
    else {
        rbt_set_rchild(tree, parent, rchild);
    }
    rbt_set_rchild(tree, node, rchild->lchild);
    rbt_set_lchild(tree, rchild, node);
}

代码8 左旋处理

3.4 插入操作

1）当向一棵空树中插入结点时，则新结点将作为整棵树根结点，且为黑色（性质2）；

《算法导论之红黑树 - 插入[C语言]》

图4 空树中添加根结点R

2）当向一棵非空树中插入一个结点时，新结点的颜色都是为红色。插入成功后，需要判断是否破坏了红黑树的5个性质。经过分析，可以发现，向非空树中插入一个结点，不可能破坏性质1、2、3、5，唯一可能被破坏只有性质4 —— 出现2个连续的红结点[新节点和父节点为红色]，且性质4被破坏，只有如下六种情况：

============================================================================
前提1：父节点P为祖父节点G的左孩子

============================================================================

情况1）：叔结点U为红色

前提条件：新结点N和父结点P都为红色，父结点P为G的左孩子

情况描述：叔结点U为红色时 [注：此时不必关心新结点N是左孩子还是右孩子]

处理过程：[代码：参考rb_insert_fixup()中的case 1]

①、将父结点P和叔结点U的颜色改为黑色，将祖父结点G改为红色

②、把祖父结点作为下一次判断的对象

《算法导论之红黑树 - 插入[C语言]》

图5 叔结点U为红色，新结点N为左孩子

《算法导论之红黑树 - 插入[C语言]》

图6 叔结点U为红色，新结点N为右孩子

情况2）：叔结点为黑色，新结点N为右孩子

前提条件：新结点N和父结点P都为红色，父结点P为G的左孩子

情况描述：叔结点U也为黑色，新结点N为右孩子时

处理过程：[代码：参考rb_insert_fixup()中的case 2]

①、调整颜色：将父结点P改为黑色，将祖父结点改为红色

②、向右旋转90度：父结点P取代祖父结点G的位置，同时将父结点的右子树PR作为祖父结点G的左子树，祖父结点G作为父结点P的右孩子

③、把祖父结点的父结点GP改为下一次判断的对象

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图7 叔结点U为黑色，新结点N为左孩子

[注意：蓝色结点表示颜色可能为红，也可能为黑]

情况3）：叔结点为黑色，新结点N为右孩子

前提条件：新结点N和父结点P都为红色，父结点P为G的左孩子

情况描述：叔结点U也为黑色，新结点N为右孩子时

处理过程：[代码：参考rb_insert_fixup()中的case 3]

①、向左旋转90度：新结点N取代父结点P的位置，同时将新结点的左子树NL作为父结点P的右子树，父结点P作为新结点N的左孩子

②、把父结点P改为下一次判断的对象 [注意：经过①、②、③处理后，情况3演变了情况2]

《算法导论之红黑树 - 插入[C语言]》
图8 叔结点U为黑色新结点N为右孩子
[注意：蓝色表示颜色可能为红，也可能为黑]
============================================================================
前提2：父节点P为祖父节点G的右孩子

============================================================================

情况4）：叔结点U为红色

前提条件：新结点N和父结点P都为红色，父结点P为祖父G的右孩子

情况描述：叔结点U为红色时 [注：此时不必关心新结点N是左孩子还是右孩子]

处理过程：[代码：参考rb_insert_fixup()中的case 4]

①、将父结点P和叔结点U的颜色改为黑色，将祖父结点G改为红色

②、把祖父结点作为下一次判断的对象

《算法导论之红黑树 - 插入[C语言]》

图9 叔结点U为红色新结点N为右孩子

《算法导论之红黑树 - 插入[C语言]》

图10 叔结点U为红色新结点N为左孩子

情况5）：叔结点U为黑色，新结点N为父结点P的左孩子

前提条件：新结点N和父结点P都为红色，父结点P为祖父结点G的右孩子

情况描述：叔结点U为黑色，新结点N为左孩子时

处理过程：[代码：参考rb_insert_fixup()中的case 5]

①、向右旋转90度：新结点N取代父结点G的位置，同时将新结点的右子树NR作为父结点G的左子树，父结点G作为新结点的右孩子

②、把父结点P改为下一次判断的对象[此时case 5演变为case 6]

《算法导论之红黑树 - 插入[C语言]》

图11 叔结点U为黑色新结点N为左孩子
[注意：蓝色表示颜色可能为红，也可能为黑]
情况6）：叔结点U为黑色，新结点N为父结点P的右孩子

前提条件：新结点N和父结点P都为红色，父结点P为G的右孩子

情况描述：叔结点U为黑色，新结点N为右孩子时

处理过程：[代码：参考rb_insert_fixup()中的case 6]

①、颜色调整：将祖父结点G改为红色，父结点P改为黑色

②、向左旋转90度：父结点P取代祖父结点G的位置，同时将父结点的左子树PL作为祖父结点G的右子树，祖父结点G作为父结点P的左孩子

③、把祖父结点的父结点GP改为下一次判断的对象

《算法导论之红黑树 - 插入[C语言]》

图12 叔结点G为黑色新结点N为右孩子
[注意：蓝色表示颜色可能为红，也可能为黑]

/******************************************************************************
 **函数名称: rbt_creat_node
 **功    能: 创建关键字为key的结点(内部接口)
 **输入参数: 
 **     key: 红黑树
 **     color: 结点颜色
 **     type: 新结点是父结点的左孩子还是右孩子
 **     parent: 父结点
 **输出参数: NONE
 **返    回: RB_SUCCESS:成功 RB_FAILED:失败
 **实现描述: 
 **注意事项: 新结点的左右孩子肯定是叶子结点
 **作    者: # Qifeng.zou # 2013.12.23 #
 ******************************************************************************/
rbt_node_t *rbt_creat_node(rbt_tree_t *tree, int key, int color, int type, rbt_node_t *parent)
{
    rbt_node_t *node = NULL;

    node = (rbt_node_t *)calloc(1, sizeof(rbt_node_t));
    if (NULL == node) {
        return NULL;
    }

    node->color = color;
    node->key = key;
    node->lchild = tree->sentinel;
    node->rchild = tree->sentinel;
    if (NULL != parent) {
        rbt_set_child(tree, parent, type, node);
    }
    else {
        node->parent = tree->sentinel;
    }

    return node;
}

代码9 创建key值结点

/******************************************************************************
 **函数名称: rbt_insert
 **功    能: 向红黑树中增加节点(对外接口)
 **输入参数: 
 **     tree: 红黑树
 **     key: 需被添加的关键字
 **输出参数: NONE
 **返    回: RBT_SUCCESS:成功 RBT_FAILED:失败 RBT_NODE_EXIST:节点存在
 **实现描述: 
 **     1. 当根节点为空时，直接添加
 **     2. 将节点插入树中, 检查并修复新节点造成红黑树性质的破坏
 **注意事项: 
 **  红黑树的5点性质:
 **     1、每个结点要么是红色的，要么是黑色的；
 **     2、根结点是黑色的；
 **     3、所有叶子结点(NIL)都是黑色的；
 **     4、如果一个结点是红色，则它的两个儿子都是黑色的；
 **     5、对任何一个结点，从该结点通过其子孙结点到达叶子结点(NIL)
 **         的所有路径上包含相同数目的黑结点。
 **注意事项: 插入节点操作只可能破坏性质(4)
 **作    者: # Qifeng.zou # 2013.12.23 #
 ******************************************************************************/
int rbt_insert(rbt_tree_t *tree, int key)
{
    rbt_node_t *node = tree->root,
              *add = NULL, *parent = NULL;

    /* 1. 当根节点为空时，直接添加 */
    if (tree->sentinel == tree->root) {
        /* 性质2: 根结点是黑色的 */
        tree->root = rbt_creat_node(tree, key, RBT_COLOR_BLACK, 0, NULL);
        if (tree->sentinel == tree->root) {
            return RBT_FAILED;
        }
        return RBT_SUCCESS;
    }
    
    /* 2. 将节点插入树中, 检查并修复新节点造成红黑树性质的破坏 */
    while (tree->sentinel != node) {
        if (key == node->key) {
            return RBT_NODE_EXIST;
        }
        else if (key < node->key) {
            if (tree->sentinel == node->lchild) {
                add = rbt_creat_node(tree, key, RBT_COLOR_RED, RBT_LCHILD, node);
                if(NULL == add) {
                    return RBT_FAILED;
                }
                
                return rb_insert_fixup(tree, add); /* 防止红黑树的性质被破坏 */
            }
            node = node->lchild;
        }
        else {
            if (tree->sentinel == node->rchild) {
                add = rbt_creat_node(tree, key, RBT_COLOR_RED, RBT_RCHILD, node);
                if (NULL == add) {
                    return RBT_FAILED;
                }

                return rb_insert_fixup(tree, add); /* 防止红黑树的性质被破坏 */
            }
            node = node->rchild;
        }
    }

    return RBT_SUCCESS;
}

代码10 增加key值结点（内部接口）

/******************************************************************************
 **函数名称: rb_insert_fixup
 **功    能: 插入操作修复(内部接口)
 **输入参数: 
 **     tree: 红黑树
 **     node: 新增节点的地址
 **输出参数: NONE
 **返    回: RBT_SUCCESS:成功 RBT_FAILED:失败
 **实现描述: 
 **     1. 检查红黑树性质是否被破坏
 **     2. 如果被破坏，则进行对应的处理
 **注意事项: 插入节点操作只可能破坏性质④
 **作    者: # Qifeng.zou # 2013.12.23 #
 ******************************************************************************/
int rb_insert_fixup(rbt_tree_t *tree, rbt_node_t *node)
{
    rbt_node_t *parent = NULL, *uncle = NULL, *grandpa = NULL, *gparent = NULL;

    while (rbt_is_red(node)) {
        parent = node->parent;
        if (rbt_is_black(parent)) {
            return RBT_SUCCESS;
        }
        
        grandpa = parent->parent;
        if (parent == grandpa->lchild) { /* 父节点为左节点 */
            uncle = grandpa->rchild;
            
            /* case 1: 父节点和叔节点为红色 */
            if (rbt_is_red(uncle)) {
                rbt_set_black(parent);
                rbt_set_black(uncle);
                if(grandpa != tree->root) {
                    rbt_set_red(grandpa);
                }
                node = grandpa;
                continue;
            }
            /* case 2: 叔结点为黑色，结点为左孩子 */
            else if (node == parent->lchild) {
                /* 右旋转: 以grandpa为支点 */
                gparent = grandpa->parent;
                rbt_set_red(grandpa);
                rbt_set_black(parent);

                rbt_right_rotate(tree, grandpa);
                node = gparent;
                continue;
            }
            /* case 3: 叔结点为黑色，结点为右孩子 */
            else {
                /* 左旋转: 以parent为支点 */
                rbt_left_rotate(tree, parent);
                
                node = parent;
                continue;
            }
        }
        else {                       /* 父节点为右孩子 */
            uncle = grandpa->lchild;
            
            /* case 1: 父节点和叔节点为红色 */
            if (rbt_is_red(uncle)) {
                rbt_set_black(parent);
                rbt_set_black(uncle);
                if (grandpa != tree->root) {
                    rbt_set_red(grandpa);
                }

                node = grandpa;
                continue;
            }
            /* case 2: 叔结点为黑色，结点为左孩子 */
            else if (node == parent->lchild) {
                /* 右旋转: 以parent为支点 */
                rbt_right_rotate(tree, parent);
                node = parent;
                continue;
            }
            /* case 3: 叔结点为黑色，结点为右孩子 */
            else {
                /* 左旋转: 以grandpa为支点 */
                gparent = grandpa->parent;
                rbt_set_black(parent);
                rbt_set_red(grandpa);

                rbt_left_rotate(tree, grandpa);
                node = gparent;
                continue;
            }
        }
    }

    return RBT_SUCCESS;
}

代码11 红黑树修复

3.4 结果展示

调用函数rb_insert，随机插入20个不同的关键字，其最终生成的红黑树如下图所示： [注意：红黑树的打印可以参考《算法导论之红黑树 – 打印》]
《算法导论之红黑树 - 插入[C语言]》

图13 打印构建
图11对应的红黑树结构如下图所示：

图14 树型结构
[注：未绘制叶子结点]

    原文作者：算法小白
    原文地址: https://blog.csdn.net/qifengzou/article/details/17528295
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