参考http://hxraid.iteye.com/blog/611816，定理证明有修改

红黑树的性质与定义

红黑树(red-black tree) 是一棵满足下述性质的二叉查找树：

1. 每一个结点要么是红色，要么是黑色。

2. 根结点是黑色的。

3. 所有叶子结点都是黑色的（实际上都是Null指针，下图用NIL表示）。叶子结点不包含任何关键字信息，所有查询关键字都在非终结点上。

4. 每个红色结点的两个子节点必须是黑色的。换句话说：从每个叶子到根的所有路径上不能有两个连续的红色结点

5. 从任一结点到其每个叶子的所有路径都包含相同数目的黑色结点

黑深度 ——从某个结点x出发(不包括结点x本身)到叶结点(包括叶子结点)的路径上的黑结点个数,称为该结点x的黑深度,记为bd(x),根结点的黑深度就是该红黑树的黑深度。叶子结点的黑深度为0。比如：上图bd(13)=2，bd(8)=2，bd(1)=1

内部结点 —— 红黑树的非叶子结点（根节点也是内部结点）

外部结点 —— 红黑树的叶子结点

红黑树相关定理

1. 从根到叶子的最长的可能路径不多于最短的可能路径的两倍长。

      根据上面的性质5我们知道上图的红黑树每条路径上都是3个黑结点。因此最短路径长度为2(没有红结点的路径)。再根据性质4(两个红结点不能相连)和性质1，2(叶子和根必须是黑结点)。那么我们可以得出：一条具有3个黑结点的路径上最多只能有2个红结点(红黑间隔存在)。也就是说黑深度为2（根结点也是黑色）的红黑树最长路径为4，最短路径为2。从这一点我们可以看出红黑树是大致平衡的。 (当然比平衡二叉树要差一些，AVL的平衡因子最多为1)

2. 红黑树的树高(h)不大于两倍的红黑树的黑深度(bd)，即h<=2bd

      根据定理1，我们不难说明这一点。bd是红黑树的最短路径长度。而可能的最长路径长度(树高的最大值)就是红黑相间的路径，等于2bd。因此h<=2bd。

3. 一棵拥有n个内部结点(不包括叶子结点)的红黑树的树高h<=2log(n+1)

      下面我们首先证明一颗有n个内部结点且颜色全为黑的红黑树满足n>=2^bd-1（内部结点数与颜色无关，黑深度和颜色相关，若红黑树的结点全为黑能成立，则任意红黑树必能成立）。这可以用数学归纳法证明，施归纳于树高h。当h=0时，这相当于是一个叶结点，黑高度bd为0，而内部结点数量n为0，此时0>=2^0-1成立。假设树高h<=t时，n>=2^bd-1成立，我们记一颗树高为t+1的红黑树的根结点的左子树的内部结点数量为nl，右子树的内部结点数量为nr，记这两颗子树的黑高度为bd’（注意这两颗子树的黑高度必然一 样），显然这两颗子树的树高<=t，于是有nl>=2^bd’-1以及nr>=2^bd’-1，将这两个不等式相加有nl+nr>=2^(bd’+1)-2，将该不等式左右加1（根节点算1个内部结点），得到n>=2^(bd’+1)-1，很显然bd’+1>=bd，于是前面的不等式可以 变为n>=2^bd-1，这样就证明了一颗有n个内部结点的红黑树满足n>=2^bd-1。

        在根据定理2，h<=2bd。即n>=2^(h/2)-1，那么h<=2log(n+1)

        从这里我们能够看出，红黑树的查找长度最多不超过2log(n+1)，因此其查找时间复杂度也是O(log N)级别的。