• 作者：邹祁峰
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• 日期：2014.01.18 01:21
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1 引言

    在《算法导论 之 红黑树 – 插入》中已经对红黑树的5个性质做了较详细的分析，同时也给出了insert操作的C语言实现。首先我们再回顾一下红黑树的5个性质：

    ①、每个节点要么是红色的，要么是黑色的；

    ②、根结点是黑色的；

    ③、所有叶子结点（NIL）都是黑色的；

    ④、如果一个结点是红色，则它的两个儿子都是黑色的；

    ⑤、对任何一个结点，从该结点通过其子孙结点到达叶子结点（NIL）的所有路径上包含相同数目的黑结点。

   和插入操作一样，结点的删除操作的时间复杂度也是O（log2@N）[注：以2为底数，N为对数]，但删除操作的处理更复杂一些。

2 删除处理

2.1 外部接口

    调用接口删除指定key结点时，其内部首先会查找红黑树中是否存在key结点。如果key结点不存在，则无需进行任何的处理；如果key结点存在，则调用_rbt_delete()删除结点。
    红黑树是查找树的一种，其查找key结点的过程与查找树的查找过程极其相似。故，外部接口的实现代码如下：[注：代码中出现的数据类型、宏、枚举或函数定义可以参考《算法导论 之 红黑树 – 插入》]

/******************************************************************************
 **函数名称: rbt_delete
 **功    能: 删除结点(外部接口)
 **输入参数: 
 **     tree: 红黑树
 **     key: 关键字
 **输出参数: NONE
 **返    回: RBT_SUCCESS:成功  RBT_FAILED:失败
 **实现描述: 
 **    1. 如果key的结点不存在，则无需进行任何的处理；
 **    2. 如果key的结点存在，则调用_rbt_delete()删除结点。
 **注意事项: 
 **作    者: # Qifeng.zou # 2013.12.27 #
 ******************************************************************************/
int rbt_delete(rbt_tree_t *tree, int key)
{
    rbt_node_t *node = tree->root;


    while(tree->sentinel != node) {
        if(key == node->key) {
            return _rb_delete(tree, node); /* 找到：执行删除处理 */
        } else if(key < node->key) {
            node = node->lchild;
        } else {
            node = node->rchild;
        }
    }

    return RBT_SUCCESS; /* 未找到 */
}

代码1 删除操作

2.2 删除过程

    假如需要删除结点D，则删除操作的过程有如下几种情况：[注：在以下所有绘制的红黑树中，均未绘制叶子结点]

情况1：被删结点D的左孩子为叶子结点，右孩子无限制（可为叶子结点，也可为非叶子结点）

    处理过程：

        ①、删除结点D，并用右孩子结点替代结点D的位置；

        ②、如果被删结点D为红色，则红黑树性质未被破坏，因此无需做其他调整；

        ③、如果被删结点D为黑色，则需进一步做调整处理。

图1 情况1-1：左右孩子均为叶子结点

[叶子结点取代了结点D的位置]

图2 情况1-2：左孩子为叶子结点 右孩子不为叶子结点

[结点DR取代了叶子结点的位置]

情况2: 被删结点D的右孩子为叶子结点，左孩子不为叶子结点

    处理过程：

        ①、删除结点D，并用左孩子节点替代结点D的位置；

        ②、如果被删结点D为红色，则红黑树性质未被破坏，因此不需做其他调整；

        ③、如果被删结点D为黑色，则需进一步做调整处理。

图3 情况2：右孩子为叶子结点 左孩子不为叶子结点

[结点DL取代结点D的位置]

情况3: 被删结点D的左右孩子均不为叶子节点

    处理过程：

        ①、找到结点D的后继结点S

        ②、将结点S的key值赋给结点D；

        ③、再将结点S从树中删除，并用结点S的右孩子替代结点S的位置；[注：从前面的描述可以看出，其实被删的是结点D的后继结点S]

        ④、如果被删结点S为红色，则红黑树性质未被破坏，因此不需做其他调整；

        ⑤、如果被删结点S为黑色，则需进一步做调整处理。

图4 情况3：左右孩子均不为叶子结点

[后继结点的右孩子SR取代后继结点S的位置]

    综合情况1、2、3可知，当实际被删的结点为黑色时，才需进一步做调整处理 —— 实际被删的结点为红色时，并不会破坏红黑树的5点性质，其实现的过程如下：[注：代码中出现的数据类型、宏、枚举或函数定义可以参考《算法导论 之 红黑树 – 插入》]

/******************************************************************************
 **函数名称: _rbt_delete
 **功    能: 删除结点(内部接口)
 **输入参数: 
 **     tree: 红黑树
 **     dnode: 将被删除的结点
 **输出参数: NONE
 **返    回: RBT_SUCCESS:成功  RBT_FAILED:失败
 **实现描述: 
 **    1. 如果将被删除的结点dnode无后继结点，则直接被删除，并被其左孩子或右孩子替代其位置
 **    2. 如果将被删除的结点dnode有后继结点，则将后继结点的其赋给dnode，并删除后继结点，
 **       再将后继结点的右孩子取代后继结点的位置
 **    3. 完成1、2的处理之后，如果红黑树的性质被破坏，则调用rbt_delete_fixup()进行调整
 **注意事项: 
 **作    者: # Qifeng.zou # 2013.12.28 #
 ******************************************************************************/
int _rb_delete(rbt_tree_t *tree, rbt_node_t *dnode)
{
    rbt_node_t *parent = NULL, *next = NULL, *refer = NULL;


    /* Case 1: 被删结点D的左孩子为叶子结点, 右孩子无限制(可为叶子结点，也可为非叶子结点) */
    if(tree->sentinel == dnode->lchild) {
        parent = dnode->parent;
        refer = dnode->rchild;

        refer->parent = parent;
        if(tree->sentinel == parent) {
            tree->root = refer;
        } else if(dnode == parent->lchild) {
            parent->lchild = refer;
        } else { /* dnode == parent->rchild */
            parent->rchild = refer;
        }

        if(rbt_is_red(dnode)) {
            free(dnode);
            return RBT_SUCCESS;
        }

        free(dnode);
        return rbt_delete_fixup(tree, refer);
    }
    /* Case 2: 被删结点D的右孩子为叶子结点, 左孩子不为叶子结点 */
    else if(tree->sentinel == dnode->rchild) {
        parent = dnode->parent;
        refer = dnode->lchild;

        refer->parent = parent;
        if(tree->sentinel == parent) {
            tree->root = refer;
        } else if(dnode == parent->lchild) {
            parent->lchild = refer;
        } else { /* dnode == parent->rchild */
            parent->rchild = refer;
        }

        if(rbt_is_red(dnode)) {
            free(dnode);
            return RBT_SUCCESS;
        }

        free(dnode);
        return rbt_delete_fixup(tree, refer);
    }

    /* Case 3: 被删结点D的左右孩子均不为叶子节点 */
    /* 查找dnode的后继结点next */
    next = dnode->rchild;
    while(tree->sentinel != next->lchild) {
        next = next->lchild;
    }

    parent = next->parent;
    refer = next->rchild;

    refer->parent = parent;
    if(next == parent->lchild) {
        parent->lchild = refer;
    } else { /* next == parent->rchild */
        parent->rchild = refer;
    }

    dnode->key = next->key;

    if(rbt_is_red(next)) { /* Not black */
        free(next);
        return RBT_SUCCESS;
    }

    free(next);

    return rbt_delete_fixup(tree, refer);
}

代码 2 删除结点

2.3 调整过程

    当红黑树中实际被删除的结点为黑色时，则可能破坏红黑树的5个性质。经过分析总结，破坏红黑树性质的情况有如下几种：

============================================================================
|| 前提1：参照结点N为父结点P的左孩子

============================================================================

情况1：参照结点N的兄弟B是红色的

    处理过程：

        ①、将父结点P的颜色改为红色，兄弟结点的颜色改为黑色；

        ②、以父结点P为支点进行左旋处理；

        ③、情况1转变为情况2或3、4，后续需要依次判断处理。

    如下图所示：[注意：请注意图中处理前后node、brother指针的变化，这将是后续处理的参照]

图5 调整情况1

情况2：参照结点N的兄弟B是黑色的，且B的两个孩子都是黑色的

    处理过程：

        ①、将兄弟结点B的颜色改为红色

        ②、情况2处理完成后，不必再进行情况3、4的判断，但需重新循环判断前提1、2。

    如下图所示：[注意：请注意图中处理前后node、brother指针的变化，这将是后续处理的参照]

图6 调整情况2

情况3：参照结点N的兄弟B是黑色的，且B的左孩子是红色的，右孩子是黑色的

    处理过程：

        ①、将兄弟结点B的颜色改为红色，结点B的左孩子改为黑色；

        ②、以结点B为支点进行右旋处理；

        ③、情况3转化为情况4，后续必须进行情况4的处理。

    如下图所示：[注意：请注意图中处理前后node、brother指针的变化，这将是后续处理的参照]

图7 调整情况3

情况4：参照结点N的兄弟B是黑色的，且B的左孩子是黑色的，右孩子是红色的

    处理过程：

        ①、将父结点P的颜色拷贝给兄弟结点B，再将父结点P和兄弟结点的右孩子BR的颜色改为黑色；

        ②、以父结点P为支点，进行左旋处理；

        ③、将node改为树的根结点，也意味着调整结束。

    如下图所示：[注意：请注意图中处理前后node指针的变化，这将是后续处理的参照]

图8 调整情况4

[注：蓝色表示结点颜色可能为红，也可能为黑，在此也更能突出复制结点P的颜色给结点B]

============================================================================

|| 前提2：参照结点N为父结点P的右孩子

============================================================================

情况5：参照结点N的兄弟B是红色的

    处理过程：

        ①、将父结点P的颜色改为红色，兄弟结点的颜色改为黑色；

        ②、以父结点P为支点进行右旋处理；

        ③、情况5转变为情况6或7、8，后续需要依次判断处理。

    如下图所示：[注意：请注意图中处理前后node、brother指针的变化，这将是后续处理的参照]

图9 调整情况5

情况6：参照结点N的兄弟B是黑色的，且B的两个孩子都是黑色的

    处理过程：

        ①、将兄弟结点B的颜色改为红色；

        ②、情况6处理完成后，不必再进行情况7、8的判断，但需要重新循环判断前提1、2。

    如下图所示：[注意：请注意图中处理前后node、brother指针的变化，这将是后续处理的参照]

图10 调整情况6

情况7：参照结点N的兄弟B是黑色的，且B的右孩子是红色的，左孩子是黑色的

    处理过程：

        ①、将兄弟结点B的颜色改为红色，结点B的右孩子改为黑色；

        ②、以结点B为支点进行左旋处理；

        ③、情况7转化为情况8，后续必须进行情况8的处理。

    如下图所示：[注意：请注意图中处理前后node、brother指针的变化，这将是后续处理的参照]

图11 调整情况7

情况8：参照结点N的兄弟B是黑色的，且B的右孩子是黑色的，左孩子是红色的

    处理过程：

        ①、将父结点P的颜色拷贝给兄弟结点B，再将父结点P和兄弟结点的左结点BL颜色改为黑色；

        ②、以父结点P为支点，进行右旋处理；

        ③、将node改为树的根结点，也意味着调整结束。

    如下图所示：[注意：请注意图中处理前后node指针的变化，这将是后续处理的参照]

图12 调整情况8

[注：蓝色表示结点颜色可能为红，也可能为黑，在此也更能突出复制结点P的颜色给结点B]

    综合以上情况的分析，删除结点后的调整过程的实现代码如下所示：[注：代码中出现的数据类型、宏、枚举或函数定义可以参考《算法导论 之 红黑树 – 插入》]

/******************************************************************************
 **函数名称: rbt_delete_fixup
 **功    能: 修复删除操作造成的黑红树性质的破坏(内部接口)
 **输入参数: 
 **     tree: 红黑树
 **     node: 实际被删结点的替代结点(注: node有可能是叶子结点)
 **输出参数: NONE
 **返    回: RBT_SUCCESS:成功  RBT_FAILED:失败
 **实现描述: 
 **注意事项: 
 **     注意: 被删结点为黑色结点，才能调用此函数进行性质调整
 **作    者: # Qifeng.zou # 2013.12.28 #
 ******************************************************************************/
int rbt_delete_fixup(rbt_tree_t *tree, rbt_node_t *node)
{
    rbt_node_t *parent = NULL, *brother = NULL;

    while(rbt_is_black(node) && (tree->root != node)) {
        /* Set parent and brother */
        parent = node->parent;
        
        /* 前提1：node为parent的左孩子 */
        if(node == parent->lchild) {
            brother = parent->rchild;

            /* Case 1: 兄弟结点为红色:  以parent为支点, 左旋处理 */
            if(rbt_is_red(brother)) {
                rbt_set_red(parent);
                rbt_set_black(brother);
                rbt_left_rotate(tree, parent);

                /* 参照结点node不变, 兄弟结点改为parent->rchild */
                brother = parent->rchild;
                
                /* 注意: 此时处理还没有结束，还需要做后续的调整处理 */
            }

            /* Case 2: 兄弟结点为黑色(默认), 且兄弟结点的2个子结点都为黑色 */
            if(rbt_is_black(brother->lchild) && rbt_is_black(brother->rchild)) {
                rbt_set_red(brother);
                node = parent;
            } else {
                /* Case 3: 兄弟结点为黑色(默认),
                    兄弟节点的左子结点为红色, 右子结点为黑色:  以brother为支点, 右旋处理 */
                if(rbt_is_black(brother->rchild)) {
                    rbt_set_black(brother->lchild);
                    rbt_set_red(brother);

                    rbt_right_rotate(tree, brother);

                    /* 参照结点node不变 */
                    brother = parent->rchild;
                }
                
                /* Case 4: 兄弟结点为黑色(默认),
                    兄弟结点右孩子结点为红色:  以parent为支点, 左旋处理 */
                rbt_copy_color(brother, parent);
                rbt_set_black(brother->rchild);
                rbt_set_black(parent);

                rbt_left_rotate(tree, parent);
                
                node = tree->root;
            }
        }
        /* 前提2：node为parent的右孩子 */
        else {
            brother = parent->lchild;

            /* Case 5: 兄弟结点为红色:  以parent为支点, 右旋处理 */
            if(rbt_is_red(brother)) {
                rbt_set_red(parent);
                rbt_set_black(brother);

                rbt_right_rotate(tree, parent);

                /* 参照结点node不变 */
                brother = parent->lchild;
                
                /* 注意: 此时处理还没有结束，还需要做后续的调整处理 */
            }

            /* Case 6: 兄弟结点为黑色(默认), 且兄弟结点的2个子结点都为黑色 */
            if(rbt_is_black(brother->lchild) && rbt_is_black(brother->rchild)) {
                rbt_set_red(brother);
                node = parent;
            } else {
                /* Case 7: 兄弟结点为黑色(默认),
                    兄弟节点的右子结点为红色, 左子结点为黑色:  以brother为支点, 左旋处理 */
                if(rbt_is_black(brother->lchild)) {
                    rbt_set_red(brother);
                    rbt_set_black(brother->rchild);

                    rbt_left_rotate(tree, brother);

                    /* 参照结点node不变 */
                    brother = parent->lchild;
                }
            
                /* Case 8: 兄弟结点为黑色(默认), 兄弟结点左孩子结点为红色: 以parent为支点, 右旋处理 */
                rbt_copy_color(brother, parent);
                rbt_set_black(brother->lchild);
                rbt_set_black(parent);

                rbt_right_rotate(tree, parent);
                
                node = tree->root;
            }
        }
    }

    rbt_set_black(node);
    
    return RBT_SUCCESS;
}

代码3 删除调整

3 处理结果

    首先，随机输入多个key生成左图树，再随机删除任意key后，得到右图树。经过分析可以发现：右图也是一个红黑树。经过反复验证后，可以判断以上代码的处理是正确的。[注：红黑树的打印可以参考博文《算法导论 之 红黑树 – 打印、销毁》]

图13 结果展示