红黑树简介（Introduction to Red-black tree）
作者：Bluemapleman(tomqianmaple@outlook.com)
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前言：红黑树以操作复杂，但性能优异著称（增删查节点最坏情况的时间复杂度都是O（lgn））。Java的TreeSet和TreeMap都是基于红黑树实现的。红黑树属于BST（二叉查找树）的一种，但它相比BST多了平衡的（balanced）特征，平衡的含义是：“最坏情况下的树高也只是O(lgn)”。而平衡的特性，也就是红黑树能保证优异性能的根本所在。
定义
（可以先尝试了解2-3-4树的概念，2-3-4树也是一种自平衡的树，可以保证在O（lgn）内完成增删查操作，但是由于实现相对较为困难，所以在要求实现高性能的树时往往用性能相似的红黑树来替代。2-3-4树资料）
而红黑树具备以下五个特征的二叉搜索树：
- 每个节点要么是红色，要么是黑色
- 根是黑色
- 每个叶子节点（NIL）都是黑色
- 不能父子节点同时为红色
- 任意一条从根到叶子的路径上都有相同数目的黑色结点
浅色为红色，深色为黑色，图来自Introduction To Algorithm: Third Edition, Thomas et al. Page 309 [1]
NIL表示默认存在的黑色叶子节点，后面画图和分析时都可以忽略这些NIL结点。它们存在的意义主要在于满足红黑树的叶子节点颜色的要求。
红黑树的高度h有这么一条可以证明的特性：有n个keys的红黑树的高度h，小于等于2lg(n+1)。（证明可参看[1]）
另外，就平衡这个特性来说，我们还可以将红黑树与AVL树做一个对比：
红黑树与AVL树的比较：（来自AVL树与红黑树（R-B树）的区别与联系）
AVL是严格的平衡树，因此在增加或者删除节点的时候，根据不同情况，旋转的次数比红黑树要多；
红黑树是用非严格的平衡来换取增删节点时候旋转次数的降低开销；
所以简单说，如果你的应用中，搜索的次数远远大于插入和删除，那么选择AVL树，
如果搜索，插入删除次数几乎差不多，应选择红黑树。即，有时仅为了排序（建立-遍历-删除），不查找或查找次数很少，R-B树合算一些。
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作者：码农的小梦想
来源：CSDN
原文：https://blog.csdn.net/zhangkunrun/article/details/38336543
查找操作分析
红黑树的查找操作与BST树完全相同，用查找的值与根节点的key做比较，找到即返回，没找到就递归地在根节点的左子树或右子树里继续找即可。时间复杂度显然=树高=O(lgn)。
插入操作分析
红黑树的插入和标准的BST树的插入类似：我们首先通过不断地比较，找到新节点应当插入的叶子节点的位置，如果发现插入结点的key已存在，那么就不需要后续操作了。如果没有，我们就将新节点接在相应的位置上，并将新节点染成红色。
这样做的潜在问题是：如果插入新节点位置的父亲节点也是个红色结点，那么这样做就会导致父子节点都是红色，这是不符合红黑树规定的。所以，红黑树完整的插入操作还包含一步：解决可能存在的“红-红”问题。
为了更好地解决“红红问题”，我们把新节点插入后，可能出现的所有情况分成以下四种：
- case 0：父亲节点为黑色，搞定收工！
- case 1：父亲和叔伯结点均为红色，则将爷爷结点（一定为黑色）染成红色，父亲和叔伯结点均染成黑色，换言之，做一个颜色翻转！之后，我们再看爷爷结点与爷爷结点的父亲节点是否有“红红问题”存在；
- case 2：父亲为红色，叔伯不存在或叔伯为黑色，则若父亲和爷爷结点此时处在插入结点的不同侧，旋转一次；
- case 3：父亲为红色，叔伯不存在或叔伯为黑色，则若父亲和爷爷结点此时处在插入结点的相同侧，旋转一次；
我们根据图来看一下这几种情况，并详细讲述一下相关的具体操作：
(1) 我们用变量z来指向我们新插入的节点，或者指向我们后续要处理的结点。可以看上图中，我们新插入的结点是4，按照BST的方式，判断它应该成为结点5的左子节点，于是我们插入4，并将4染成红色（a）。
(2) 然后，我们发现4的父亲4和叔伯8都是红色，符合case1，于是我们将爷爷结点和父亲叔伯结点的颜色互换，之后变量z指向爷爷结点7，因为我们已经保证爷爷结点以下的结点没有“红红问题”了（b）。
(3) 然而此时，我们又发现z指向的结点7的父亲2也是红色，然而叔伯14是黑色，并且父亲2和爷爷11不在同一侧，故符合case2，此时，我们先将z指向z本来的父亲2，然后我们针对现在的z做一次树的旋转（此处是左旋）（c）。
(4) 左旋完后，我们再看z，返现此时z的父亲7为红色，叔伯14为黑色，而父亲7和爷爷11在同一侧，故满足case3，于是我们针对z的爷爷结点11做一个旋转（此处是右旋）（d）。
(5) 最后，我们会发现z的父亲7跟着旋转到根节点，但是父亲本身是红色的，而红黑树要求根是黑色的，所以我们把父亲结点7染成黑色。
现在，这个红黑树就在插入新节点后依然满足所有红黑树的要求。这样，我们就彻底完成了红黑树的插入。
红黑树插入的伪代码：（先插入，后修复）
这里需要注意的一点是：从修复部分的伪代码也可以看出，当我们遇到case2并完成处理后，我们一定会紧接着遇到case3，而处理完case3后，我们一定就已经基本解决了所有的“红红问题”（可能还需要把根节点染黑）。而只有case1的情况是可能出现自我循环的，即需要多次翻转父亲叔伯与爷爷的颜色，而case1若不循环，我们还有可能再碰到case 0,2,3。了解这四个case之间的一个转换关系可以帮助我们分析插入操作的时间复杂度。
课堂上老师的板书。
- 时间复杂度
由于具有n个节点的红黑树的高度是O(lgn)，除开修复部分的插入操作显然只花费O(lgn)的时间，而在修复操作中，while loop修复“红红问题”的过程中，只有case1可能使while loop继续循环（case2会转到case3，case3代表结束），而每次case1循环会使得指针z指向指向更高两层的节点（仔细理解上面的修复过程），因此while loop循环的次数也最多只有O（lgn）。另外，case2和case3中的旋转操作也都是O(1)的时间复杂度。因此，红黑树插入操作的总时间复杂度为O(lgn)。
删除操作
开始的步骤类似BST中的删除操作（Hibbard Deletion）：首先找到要删除的结点z：
若该结点只有一个子节点，则直接用该子节点替换在待删除结点z的位置就好；
若待删除结点有两个子节点（左子节点为l）：
- 若右子节点y作为根节点的子树没有左子树/左子节点，则直接用y替换在z的位置，然后l作为z的左子节点即可；
- 则若右子节点r作为根节点还有左子树，则取该左子树中key最小的那个结点作为y，那么我们需要将r作为y的右子树，l作为y的左子树，用y替换在z的位置即可。
但是红黑树还需要除以上正常的BST删除步骤之外进行一些其它的调整，这些调整比较复杂，本文就不具体分析了。（我们老师也只讲到这里，但是给大家推荐一篇讲删除的博文）
但记住红黑树的删除操作时间复杂度也是O(lgn)即可。
参考文献
[1] Introduction to Algorithms: Third Edition, Thomas et al.
