数据结构之红黑树

2023年4月14日 559次阅读 来源: 算法小白

一、红黑树性质：

红黑树是具有以下性质的二叉查找树（左小右大）：

1.每一个节点或者是红色或者是黑色
2.根是黑色
3.如果一个节点是红的，那么它的子节点必须的黑的
4.从一个节点到一个NULL指针的每一条路径必须包含相同数目的黑色节点。

红黑树的高度最多是2log（N+1），平均红黑树的深度和AVL树一样，（所以查找时间一般接近最优）红黑树的优点是执行插入操作所需要的开销相对较低，在实践中发生旋转相对较少。
困难的操作是插入和删除，需要通过颜色的改变和树的旋转来满足以上4条性质

二、红黑树的插入：
分情况讨论：
1、如果插入节点的父节点是黑色的，那么插入操作很容易完成,直接进行插入。
2、如果插入节点的父节点是红色的，【因为性质4.所以我们插入的节点一定是红色的，那么这时，我们需要进行颜色翻转和位置旋转来恢复性质】
插入红色节点，由于性质3，我们必须进行颜色翻转和位置旋转来完成插入，保持红黑树的性质
     分两种情况：

           一字型：

             《数据结构之红黑树》

           之字形：
                 《数据结构之红黑树》

我们对以下红黑树进行插入：

              《数据结构之红黑树》


但是当插入45时上述的方法不行了，经过旋转后有两个连续的红节点。我们需要新的方法

             《数据结构之红黑树》

这时，我们想到将红色节点颜色与黑色节点颜色进行翻转。因此又分为两种情况：
1、插入节点的父节点的兄弟节点是黑色的，则利用上述一字型、之字形规则颜色翻转和位置旋转直接恢复
2、插入节点的父节点的兄弟节点是红色的（即一个节点右两个红儿子），则需要将拥有两个红色儿子的节点与父节点颜色翻转，然后再进行插入

       《数据结构之红黑树》        

应用上述规则，我们重新插入45。

a、我们需要先对拥有两个红儿子的节点进行颜色翻转，然后再进行插入。

           《数据结构之红黑树》

b、经过翻转后，出现一字型情形，我们进行一字型旋转。
           《数据结构之红黑树》

c、经过一字型旋转，现在就可以直接插入节点45
           《数据结构之红黑树》

因此我们得到红黑树插入操作的步骤：

1、在从根节点向插入节点，有两个红色儿子的节点则需要进行颜色翻转（下滤）
2、翻转完后若不满足红黑树性质，则进行旋转操作。
3、插入

三、程序实现：

 #include "redblack.h" #include <stdlib.h> #include "fatal.h" typedef enum ColorType { Red, Black } ColorType; struct RedBlackNode { ElementType Element; RedBlackTree Left; RedBlackTree Right; ColorType Color; }; static Position NullNode = NULL; RedBlackTree Initialize( void ) { RedBlackTree T; if( NullNode == NULL ) { NullNode = malloc( sizeof( struct RedBlackNode ) ); if( NullNode == NULL ) FatalError( "Out of space!!!" ); NullNode->Left = NullNode->Right = NullNode; NullNode->Color = Black; NullNode->Element = 12345; } T = malloc( sizeof( struct RedBlackNode ) ); if( T == NULL ) FatalError( "Out of space!!!" ); T->Element = NegInfinity; T->Left = T->Right = NullNode; T->Color = Black; return T; } void Output( ElementType Element ) { printf( "%d\n", Element ); } static void DoPrint( RedBlackTree T ) { if( T != NullNode ) { DoPrint( T->Left ); Output( T->Element ); DoPrint( T->Right ); } } void PrintTree( RedBlackTree T ) { DoPrint( T->Right ); } static RedBlackTree MakeEmptyRec( RedBlackTree T ) { if( T != NullNode ) { MakeEmptyRec( T->Left ); MakeEmptyRec( T->Right ); free( T ); } return NullNode; } RedBlackTree MakeEmpty( RedBlackTree T ) { T->Right = MakeEmptyRec( T->Right ); return T; } Position Find( ElementType X, RedBlackTree T ) { if( T == NullNode ) return NullNode; if( X < T->Element ) return Find( X, T->Left ); else if( X > T->Element ) return Find( X, T->Right ); else return T; } Position FindMin( RedBlackTree T ) { T = T->Right;// while( T->Left != NullNode ) T = T->Left; return T; } Position FindMax( RedBlackTree T ) { while( T->Right != NullNode ) T = T->Right; return T; } static Position SingleRotateWithLeft( Position K2 ) { Position K1; K1 = K2->Left; K2->Left = K1->Right; K1->Right = K2; return K1; /* New root */ } static Position SingleRotateWithRight( Position K1 ) { Position K2; K2 = K1->Right; K1->Right = K2->Left; K2->Left = K1; return K2; /* New root */ } static Position Rotate( ElementType Item, Position Parent )//旋转 { if( Item < Parent->Element )//判断是左旋转还是右旋转 return Parent->Left = Item < Parent->Left->Element ? SingleRotateWithLeft( Parent->Left ) : SingleRotateWithRight( Parent->Left ); else //判断是左旋转还是右旋转 return Parent->Right = Item < Parent->Right->Element ? SingleRotateWithLeft( Parent->Right ) : SingleRotateWithRight( Parent->Right ); } static Position X, P, GP, GGP;//静态全局变量，保存节点X，父节点，祖父节点，曾祖父节点 static void HandleReorient( ElementType Item, RedBlackTree T )//主要进行颜色翻转，并调用旋转函数 { X->Color = Red; //翻转X与其儿子节点的颜色 X->Left->Color = Black; X->Right->Color = Black; //X翻转完后颜色是红色 if( P->Color == Red ) //如果父节点是红色的 { GP->Color = Red; if( (Item < GP->Element) != (Item < P->Element) )//判断是否需要多一次旋转（之字形双旋转） P = Rotate( Item, GP ); X = Rotate( Item, GGP ); X->Color = Black; } T->Right->Color = Black; /* Make root black */ } RedBlackTree Insert( ElementType Item, RedBlackTree T ) { X = P = GP = T; NullNode->Element = Item;//这样初始化，当X下滤到叶子节点时，下面的while循环就会跳出 while( X->Element != Item ) //进行下滤  { GGP = GP; GP = P; P = X; if( Item < X->Element ) X = X->Left; else X = X->Right; if( X->Left->Color == Red && X->Right->Color == Red )//如果X有两个红儿子节点，就进行颜色翻转，位置旋转 HandleReorient( Item, T ); } if( X != NullNode )//说明没有下滤到叶子节点，上述while循环就跳出了，所以Item已经在树中了，不用插入，返回NULL return NullNode; //将Item进行插入 X = malloc( sizeof( struct RedBlackNode ) ); if( X == NULL ) FatalError( "Out of space!!!" ); X->Element = Item;//执行到这一步说明树中没有Item，X已经等于NullNode,X->Color=Black; X->Left = X->Right = NullNode; if( Item < P->Element ) //将Item插入合适的位置 P->Left = X; else P->Right = X; HandleReorient( Item, T ); //因为之前X的Color为黑色，所以这里将颜色变为红色 return T; } RedBlackTree Remove( ElementType Item, RedBlackTree T ) { printf( "Remove is unimplemented\n" ); if( Item ) return T; return T; } ElementType Retrieve( Position P ) { return P->Element; }

完整程序代码：GitHub

红黑树的具体实现比较复杂，我们使用两个标记节点：一个是根，一个是NullNode，它的作用像是在伸展树中那样是指示一个Null指针。
根标记将存储关键字-oo和一个指向真正的根的右指针。

四、插入程序执行过程分析：

插入元素45：
X=P=GP=T=-10000
进入while循环

1、

GGP=GP=-10000; GP=P=-10000; P=X=-10000;

Item=45>-10000

X=X->Right=30;

X->Left->Color == Red && X->Right->Color == Red 不成立

2、                    

GGP=GP=-10000;GP=P=-10000;P=X=30;

Item=45>30

X=X->Right=70;

X->Left->Color == Red && X->Right->Color == Red 不成立

3、

GGP=GP=-10000;GP=P=30;P=X=70;

Item=45<70

X=X->Left=60;

X->Left->Color == Red && X->Right->Color == Red 不成立

4、

GGP=GP=30;GP=P=70;P=X=60;

Item=45<60

X=X->Left=50;

X->Left->Color == Red && X->Right->Color == Red 成立

   HandleReorient( 45, T );

   将X与其儿子节点的颜色翻转互换，X翻转完后颜色是红色。

   P=60颜色也是红色，所以需要进行旋转变色

   根据上面旋转示意图可知，不论单旋转还是双旋转，都需要将G的颜色变为红色。

   一字型，进行单旋转。

   X = Rotate( 45, 30 );

   因为

   Item > Parent->Element 

   45>30      

   Item < Parent->Right->Element  

   45<70

   所以 

   SingleRotateWithLeft( Parent->Right ) 

   SingleRotateWithLeft( 70 ) 

   K2=70

   K1=60

   K2->Left=65

   K1->Right=70

   因此Parent->Right=60

   Rotate( 45, 30 )返回60

X=60;

最后再将X的颜色变为黑色。

T->Right->Color = Black并确保根的颜色为黑色

5、 

GGP=GP=70;GP=P=60;P=X=60;

Item=45<60

X=X->Left=50;

X->Left->Color == Red && X->Right->Color == Red 不成立

6、

GGP=GP=60;GP=P=60;P=X=50;

Item=45<50

X=X->Left=40;

X->Left->Color == Red && X->Right->Color == Red 不成立

7、

GGP=GP=60;GP=P=50;P=X=40;

Item=45>40

X=X->Right=NullNode;

X->Left->Color == Red && X->Right->Color == Red 不成立

8、跳出循环

Item=45 > P->Element=40
P->Right=X=45
HandleReorient( 45, T )
将X颜色变为红色，X子节点的颜色变为黑色
P->Color为黑色
T->Right->Color也为黑色

    原文作者：算法小白
    原文地址: https://blog.csdn.net/sinat_22991367/article/details/71243251
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