本文主要参考 Mark Allen Weiss 的 Data Structures and Algorithn Analysis in Java (Second Edition) 的中译本，对其中省略的地方进行了补充。

什么是红黑树？

红黑树本质上是二叉查找树，但增加了一些性质，使这种二叉查找树更加平衡，使得对其操作最坏情况花费O(logN)：

1） 每一个节点或者为红，或者为黑;

2） 根为黑;

3） 如果一个节点为红，它的孩子必为黑（约定null为黑）;

4） 从一个节点到一个null引用的每一条路径必须包含相同数目的黑色节点。

推论：

1） 由性质3）和性质4），最长路径至多为最短路径2倍（最短路径为全黑，最长路径为红黑相间）;

2） 由推论1），红黑数高度最多为2log(N+1)。

红黑树的操作

和二叉查找树一样，红黑书的基本操作是查找，插入，删除。

查找和二叉查找树一样。

插入和删除由于可能破坏红黑树性质，则比较特殊。

插入

为了满足性质4），插入的新节点必须为红色。

自底向上的插入

1）根据二叉查找性质，首先找到插入点;

2）若父节点为黑色，插入完成;

3）若父节点为红色

a. 父节点的兄弟为黑。 

规定新插入节点为X，父节点为P，叔父节点为S，祖父节点为G，双圈红，单圈黑。此时只可能X和P为红。

则X,P,G可能为一字形或之字形，对其

进行一型旋转（单旋转）或之型旋转（双旋转），

得到的新根涂黑，新根的两个儿子涂红，

完成

b. 父节点的兄弟为红

（旋转之后）新根和S涂红，G和另外一个节点涂黑

若曾祖节点为红，则产生新的两红相连，继续上滤，直到没有两红相连，或者到达根（根被重新涂黑）。

需要注意的是，在具体编程中，自底向上的操作都是需要节点保留父引用（指针）的。

自顶向下插入

自顶向下的插入在寻找插入点的过程中对树进行调整，保证S不会为红。

查找过程中：

1） 当前节点X有两个红儿子，则让X变红，两儿子变黑（若X为根，则变红之后再变黑）

此时，若X的父节点为红，则出现两红相连，但可以证明，X的叔父节点不可能为红，则进行一次旋转和变色即可。

2） 其他情况继续向下遍历。

3） 找到插入点插入即可。

删除

删除也分为自底向上和自顶向下。 

自底向上的删除可以参考《算法导论》，由于情况太多，《算法导论》实际上没有讲清楚，July花了6篇博文来阐述，有兴趣可以参考http://blog.csdn.net/v_JULY_v/article/details/6105630

自顶向下删除

自顶向下的删除，Weiss的书没有讲清楚，这里简单翻译一篇英文http://www2.ee.ntu.edu.tw/~yen/courses/ds-03/Red-Black-Trees-top-down-deletion.pdf

准备步骤：

将问题归结为删除树叶

1）带有两个儿子的节点，用右子树最小节点代替（将右子树最小节点内容放入此节点），删除该最小节点（此节点必然最多有一个儿子）;

2）带有一个右儿子（右子树），以1）方式删除

3）带有一个左儿子（左子树），用左子树最大节点代替（将左字数最大节点内容放入此节点），删除该最大节点。

过程：
（X为当前节点，T为X兄弟，P为X父节点）

step 1： 检查root

1. 如果root两个children都为黑

a. root变红

b. X指向搜索路径上root的child

c. 转到step2

2. 否则， X指向root，转到step2B

step2：

2A1： X有两个黑儿子, T也有两个黑儿子。 反转X,P,T颜色

2A2： X有两个黑儿子，T的左儿子为红。 L,T,P进行双旋转（之字形旋转）， X, P变色

2A3： X有两个黑儿子，T的右儿子为红。 R,T，P单旋转（一字形旋转）， X,P,T,R都变色

2B：

a. 继续向下

b. 如果新X为红，继续向下

c. 如果新X为黑，（必有T为红，P为黑），单旋转T,P，同时，T,P变色

d. 回到step2.

step3

最终找到要删除节点，这是一个叶节点，将节点以红节点身份删除

step4

最后将root染成黑色。

完