写在前面
- 本文所有图片均截图自coursera上普林斯顿的课程《Algorithms, Part I》中的Slides
- 相关命题的证明可参考《算法（第4版）》
- 源码可在官网下载,也可以在我的github仓库 algorithms-learning下载，已经使用maven构建
- 仓库下载：
git clone git@github.com:brianway/algorithms-learning.git
Binary Search Tree(二分查找树)
定义：A BST is a binary tree in symmetric order.
A binary tree is either:
- Empty.
- Two disjoint binary trees (left and right).
Symmetric order.Each node has a key, and every node’s key is:
- Larger than all keys in its left subtree.
- Smaller than all keys in its right subtree.
在java的实现中，每个节点(Node)由四个域组成：key,value,left,right。即：键，值，左子树，右子树。
private class Node {
private Key key;
private Value val;
private Node left, right;
public Node(Key key, Value val) {
this.key = key;
this.val = val;
}
}
- 查找：得到相应键的值，若无此键则返回null.
/* 查找 */
public Value get(Key key) {
Node x = root;
while (x != null) {
int cmp = key.compareTo(x.key);
if (cmp < 0) {
x = x.left;
} else if (cmp > 0) {
x = x.right;
} else { // if (cmp == 0)
return x.val;
}
}
return null;
}
- 插入：如果小，往左；如果大，往右；如果null，插入；如果存在，覆盖。
/* 插入 */
public void put(Key key, Value val) {
root = put(root, key, val);
}
/* 辅助函数，递归调用 */
private Node put(Node x, Key key, Value val) {
if (x == null) return new Node(key, val);
int cmp = key.compareTo(x.key);
if (cmp < 0) {
x.left = put(x.left, key, val);
} else if (cmp > 0) {
x.right = put(x.right, key, val);
} else { // if (cmp == 0)
x.val = val;
}
return x;
}
比较的次数为节点的深度+1,由于插入节点的顺序会有差异，所以树的高度不确定，最坏的情况是N个节点的树高度为N。
- 删除：列出下面几种处理方法
- 将值置为null，在树中保留键
- 删除最小值：一直向左找到左子树为null的节点，用它的右子节点代替它。
- Hibbard deletion
下面重点讲一下Hibbard deletion,分为三种情况：
- 没有子节点的节点，将其parent link置为null即可。
- 有一个子节点的节点，删除该节点并以子节点代替即可。
- 有两个子节点的节点，找到该节点t的下一个节点x（即右子树的最小节点），在右子树删除这个节点，并将该节点x放到t的位置。
/* 删除 */
private Node delete(Node x, Key key) {
if (x == null) return null;
int cmp = key.compareTo(x.key);
if (cmp < 0) {
x.left = delete(x.left, key);
} else if (cmp > 0) {
x.right = delete(x.right, key);
} else {
if (x.right == null) return x.left; // no right child
if (x.left == null) return x.right; // no left child
Node t = x;
x = min(t.right); // replace with successor
x.right = deleteMin(t.right);
x.left = t.left;
}
x.count = size(x.left) + size(x.right) + 1;
return x;
}
2-3 Search Trees(2-3树)
在介绍红黑树前，先介绍一下2-3树，便于后面理解红黑树。
2-3树是二分查找树的变形，每个节点是下面两种情况之一：
- 2-node:一个键，两个分叉（smaller,larger）
- 3-node:两个键，三个分叉（smaller,between,larger）
在底部向一个3-node插入。
- 向3-node插入一个键，临时成为一个4-node
- 将4-node中间的key移动到父节点
- 向上重复
- 如果到了顶端的根节点，且根节点是4-node,将其分成3个2-nodes.
总结起来就是：当插入的值导致节点变四叉时进行分裂，将中间的值传给上一个节点，并将另外两个值作为两个子节点分开，若上一节点也因此变成四叉，依次类推。分裂4-node是一个local transformation，只会进行常数次数的操作。高度加一由且仅由顶节点分裂造成
树的高度，在查找和插入时，保证了logarithmic的性能。
- Worst case: lg N. [all 2-nodes]
- Best case: log3 N ≈ 0.631 lg N. [all 3-nodes]
Red-Black BSTs(红黑树)
这里的红黑树均指Left-leaning red-black BSTs。主要是用二叉树的形式来表示2-3树，用一个“内部”的left-leaning连接来表示3-node。red link是2-3tree的三叉节点的连接两个key的内部link，大值作为根节点，小值作为左子节点，故名left leaning 红黑树。
一个等价的定义,A BST such that:
- No node has two red links connected to it.
- Every path from root to null link has the same number of black links.
- Red links lean left.
红黑树的java表示
private static final boolean RED = true;
private static final boolean BLACK = false;
private class Node {
Key key;
Value val;
Node left, right;
boolean color;// color of parent link
}
private boolean isRed(Node x) {
if (x == null) return false;
return x.color == RED;
}
左转-右转-变色
红黑树插入过程中可能用到的三个基本操作（左转，右转，变色）：
- left rotate
- right rotate
- flip colors
下面依次介绍
- 左转
/* left rotate */
private Node rotateLeft(Node h) {
assert isRed(h.right);
Node x = h.right;
h.right = x.left;
x.left = h;
x.color = h.color;
h.color = RED;
return x;
}
- 右转
/* right rotate */
private Node rotateRight(Node h) {
assert isRed(h.left);
Node x = h.left;
h.left = x.right;
x.right = h;
x.color = h.color;
h.color = RED;
return x;
}
- 变色
/* flip colors */
private void flipColors(Node h) {
assert !isRed(h);
assert isRed(h.left);
assert isRed(h.right);
h.color = RED;
h.left.color = BLACK;
h.right.color = BLACK;
}
插入操作
从图中可以看出，插入的次序不同，需要转换的操作也不同，分三种情况（图中每一列是一种情况）：
- 已有a和b时，c插入在b的右子节点，直接变色即可
- 已有b和c时，a插入在b的左子节点，先右转把b滑上去，成1中的状态，再变色即可
- 已有a和c时，b插入在a的右子节点，先左转把a滑下去，成2中的状态，再右转＋变色即可
从上面的分析可以看出，三种情况之间有转换关系，且逐步趋向简单，如下图所示：
根本原因在于，2-3树中，是把3-node中处于中间的那个键传递给父节点，所以在红黑树中，当有一个节点连了两个 red link时，说明这三个点是一个3-node，但次序还需要调整，从而达到中间键在最上的状态，进而变色。而这个这个调整的趋势则是先让b处于a,c中间(即a的父，c的左子，成一条线)，再让b成为a,c的父节点，最后变色。记住这个顺序和原因，写代码就简单了，状态3->状态2->状态1
private Node put(Node h, Key key, Value val) {
//insert at bottom (and color it red)
if (h == null) return new Node(key, val, RED);
int cmp = key.compareTo(h.key);
if (cmp < 0) {
h.left = put(h.left, key, val);
} else if (cmp > 0) {
h.right = put(h.right, key, val);
} else {
h.val = val;
}
if (isRed(h.right) && !isRed(h.left)) h = rotateLeft(h);// lean left
if (isRed(h.left) && isRed(h.left.left)) h = rotateRight(h);//balance 4-node
if (isRed(h.left) && isRed(h.right)) flipColors(h);//split 4-node
return h;
}
红黑树的高度 h <= 2=”” lg=”” n，证明：<=”” p=””>
- Every path from root to null link has same number of black links.
- Never two red links in-a-row.
B-Trees(B树)
最后简单提一下B树，就是将2-3树一般化，将每个节点的key-link pairs增加到 M – 1
- At least 2 key-link pairs at root.
- At least M / 2 key-link pairs in other nodes.
- External nodes contain client keys.
- Internal nodes contain copies of keys to guide search.
在B树中查找
- Start at root.
- Find interval for search key and take corresponding link.
- Search terminates in external node.
在B树中插入
- Search for new key.
- Insert at bottom.
- Split nodes with M key-link pairs on the way up the tree.
命题：A search or an insertion in a B-tree of order M with N keys requires between log M-1 N and log M/2 N probes
