算法08-回溯法：面试最常见问题

一、介绍

回溯法（探索与回溯法）是一种选优搜索法，又称为试探法，按选优条件向前搜索，以达到目标。但当探索到某一步时，发现原先选择并不优或达不到目标，就退回一步重新选择，这种走不通就退回再走的技术为回溯法，而满足回溯条件的某个状态的点称为“回溯点”。

回溯法常见应用：九宫格、八皇后、数独。

二、九宫格

1、基本思想

九宫格：所有的行、列和斜线的和都相等。九宫格的边长都为奇数。

规则：

1. 把1放到第一行的中间
2. 开始向右上角放入后面的数字：右上为空，直接填入；否则，填在右上角之下。如果右上超过边界，则取另一边。
3. 重复２操作，直到填满为止。

2、代码实现

/**
 * @param n :九宫格的边长,为奇数。
 */
public static int[][] nineGrid(int n) {
    //九宫格
    int[][] arr = new int[n][n];

    // 需要填入的值：把1放中间
    int x = 1;
    // 行号
    int row = 0;
    // 列号
    int col = n / 2;
    arr[row][col] = x;

    //如果x小于能填入的最大值
    while (x < n * n) {
        // 先记录原来的位置
        int tempR = row;
        int tempC = col;
        //如果超出左边，就从右边开始
        if (--row < 0) {
            row = n - 1;
        }
        //如果超出下边，就从上边开始
        if (++col == n) {
            col = 0;
        }
        //如果右上角没有填入，就填充
        if (arr[row][col] == 0) {
            arr[row][col] = ++x;
            //如果右上角已经填入数字，就填充右上角的下边
        } else {
            row = tempR;
            col = tempC;
            arr[++row][col] = ++x;// ++row一定小于n
        }
    }
    return arr;
}

三、八皇后

1、基本思想

八皇后问题，是一个古老而著名的问题，是回溯算法的典型案例。该问题是国际西洋棋棋手马克斯·贝瑟尔于1848年提出：在8×8格的国际象棋上摆放八个皇后，使其不能互相攻击，即任意两个皇后都不能处于同一行、同一列或同一斜线上，问有多少种摆法。

操作步骤：

1. 声明一个数组M，它的下标代表皇后所在的行号，它的值代表皇后所在的列号，数组的长度代表皇后的个数；
2. 从第0行开始比较，先把皇后A放在第0列，然后判断与其他行的皇后是否相交，如果相交，就把皇后A放到下一列；如果不想交，就开始放下一行的皇后B；
3. 重复步骤2，知道放到最后一行，说明放好了所有皇后。

2、代码实现

/**
 * @param arr 结果集，它的下标代表皇后所在的行号，它的值代表皇后所在的列号
 * @param row 当前行数
 */
public static void eightQueens(int[] arr, int row) {
    if (Tool.isEmpty(arr)) {
        return;
    }
    //从第0行开始放，如果到了最后一行，说明全部放好了
    if (row == arr.length) {
        StringBuffer sb = new StringBuffer();
        for (int i = 0; i < arr.length; i++) {
            sb.append(i + ":" + arr[i] + ", ");
        }
        ToolShow.log(sb.toString());
        return;
    }


    // 从第0列开始放皇后
    for (int i = 0; i < arr.length; i++) {
        //把皇后放在当前行的第i列
        arr[row] = i;
        // 表示是否相交，true代表相交，false代表不相交
        boolean intersect = false;
        // 判断当前点与其他点是否相交
        for (int j = 0; j < row; j++) {
            // 在同一列或者在对角线上
            if (arr[j] == arr[row] || Math.abs(row - j) == Math.abs(arr[row] - arr[j])) {
                intersect = true;
                break;
            }
        }
        // 如果不相交，就与下一行比较
        if (!intersect) {
            eightQueens(arr, row + 1);
        }
    }
}

四、数独

1、基本思想

数独是源自18世纪瑞士的一种数学游戏。是一种运用纸、笔进行演算的逻辑游戏。玩家需要根据9×9盘面上的已知数字，推理出所有剩余空格的数字，并满足每一行、每一列、每一个粗线宫（3*3）内的数字均含1-9，不重复。

操作步骤：

1. 声明一个9行9列的数组M；
2. 从0行0列的位置开始填数，依次把1到9入该位置，填入前线先判断填入数字1后，是否出现同行同列重复或者同子宫内重复，如果重复，就判断后面的数字2；一直到数字n能填入；然后填入下一个位置；
3. 重复步骤2，直到所有数字都被填入。

2、代码实现

/**
 * @param arr 结果集
 * @param i   当前行
 * @param j   当前列
 */
public static void sudoku(int[][] arr, int i, int j) {
    // 到达终点就退出
    if (i == arr.length - 1 && j == arr.length) {
        ToolShow.printArr(arr);
        return;
    }

    //到了最右边，就跳到下一行
    if (j == arr.length) {
        j = 0;
        i++;
    }

    //如果当前位置没有填值
    if (arr[i][j] == 0) {
        for (int m = 1; m <= arr.length; m++) {
            //判断数字m能否填入i行j列
            if (jude(arr, i, j, m)) {
                //先数字m填入i行j列
                arr[i][j] = m;
                //然后开始填入下一个位置
                sudoku(arr, i, j + 1);
                //如果不能够填完所有数字，就回退
                arr[i][j] = 0;
            }
        }
        //如果当前位置有填值，就填下一个位置
    } else {
        sudoku(arr, i, j + 1);
    }

}

/**
 * 用来验证该数字能否填入指定位置
 *
 * @param arr    要填入的数组
 * @param row    行号
 * @param col    列号
 * @param number 需要验证的数字
 * @return true代表该数字可以填入，false代表不能填入
 */
public static boolean jude(int[][] arr, int row, int col, int number) {
    // 判断行和列的不重复
    for (int i = 0; i < arr.length; i++) {
        // 如果有重复就返回false
        if (arr[row][i] == number || arr[i][col] == number) {
            return false;
        }
    }

    // 判断自己所在的宫里面有没有重复值
    int tempR = row / 3;
    int tempC = col / 3;
    for (int i = 0; i < 3; i++) {
        for (int j = 0; j < 3; j++) {
            if (arr[tempR * 3 + i][tempC * 3 + j] == number) {
                return false;
            }
        }
    }
    return true;
}

最后

代码地址：https://gitee.com/yanhuo2008/Common/blob/master/Tool/src/main/java/gsw/tool/arithmetic/Backtracking.java

数据结构与算法专题：https://www.jianshu.com/nb/25128590

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