复杂度分析（下）笔记：浅析最好、最坏、平均、均摊时间复杂度

最好时间复杂度和最坏时间复杂度在 渐近符号学习 中已经了解到了。

一、平均时间复杂度

// n 表示数组 array 的长度
int find(int[] array, int n, int x) {
  int i = 0;
  int pos = -1;
  for (; i < n; ++i) {
    if (array[i] == x) {
       pos = I;
       break;
    }
  }
  return pos;
}

查找 x 在 数组中的位置，有 n + 1 中情况：在数组的 0~ n-1 位置 和 不在数组中。把每种情况下，查找需要遍历的元素个数累加起来，除以 n-1 就可以得到需要遍历的元素个数的平均值（查找总数/可能情况 = 每种情况的查找次数）：

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求时间复杂度，忽略低阶项和常量因子后：平均时间复杂度为：○(n)

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这个结论虽然是正确的，但是计算过程实际上出了一些问题，我们没有将事件发生的概率计算进去。

什么概率呢？是变量 x 在数组中出现的概率和 出现位置的概率。出现在数组中和不出现在数组中的概率都为 ½ ，而出现在 0~n-1 这 n 个位置的概率为 1/n。所以根据概率乘法法则，x 出现在数组中任意位置的概率为 1/(2n)。

哎呦难受啊马飞，平均时间复杂度的计算过程又变了：

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这个值就是概率论中的 加权平均值，也叫作 期望值。所以平均时间复杂度的全称应该叫做 加权平均时间复杂度 或者 期望时间复杂度。

但是可但是，根据近似原则，常量因子和低阶项还有什么系数之类的都去掉后，这段代码的加权平均时间复杂度仍然是 ○(n)。

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二、均摊时间复杂度

均摊时间复杂度对应的分析方法为 摊还分析(平摊分析)。均摊的应用场景比平均的应用场景更特殊，也就是说出现概率不高。

//array 表示一个长度为 n 的数组
//代码中的 array.length 就是 n
int[] array = new int[n];
int count = 0;

void insert(int val){
    if(count == array.length){
        int sum = 0;
        for(int i = 0; i < array.length; ++i){
            sum = sum + array[I];
        }
        
        array[0] = sum;
        count = 1;
    }
    
    array[count] = val;
    ++count;

}

求上述代码的时间复杂度：
成员变量 count 小于 n 时，每次执行 insert() 方法，都在向数组中添加数据，此时所用时间为常量时间，则为：○(1)。（最好）

当成员变量 count 等于 n 时，执行循环语句，把数组中的数据累加到变量 sum 中，循环结束后将 sum 赋值给 数组下标为 0 的元素，将 count 重置为 1。此时所用时间为循环的遍历时间（取与n有关的时间，其他常量时间被忽略），则为：○(n)。（最坏）

每次插入数据时，若 count 小于 n ，则复杂度为：○(1)（出现 n 次）。若 count 等于 n，则复杂度为：○(n)。这 n + 1 种情况出现的概率是相同的，根据 加权平均的计算方法：

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问题：那么 insert() 与 find() 有什么不同之处呢？
不同之处在于 find() 只有在极端情况下（数组中无 x ）复杂度才会为 ○(n)，而 insert() 复杂度 ○(n) 出现的情况是有规律的：
执行 n 次插入操作后，会执行 1 次遍历操作

这种特殊的情况（ 一个 ○(n)之后，紧接着就是 n - 1个 ○(1)），可以使用一种更加简单的分析方法：摊还分析法。对应的时间复杂度称为 均摊时间复杂度。

将执行循环的 ○(n) 均摊到每次执行插入的时间 ○(1)，均摊下来，这一组连续的操作的均摊时间复杂度就为 ○(1)。

解释一下：
比如说，五个小朋友每个人吃1个苹果，然后一个大朋友自己吃五个苹果。均摊一下就是五个小朋友每个人吃两个。可以把对苹果的消耗理解为时间的消耗。所以一组满足特殊情况的操作的时间复杂度与n无关，是一个常量时间。

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