10分钟搞懂条件概率

条件概率的意思是在某种条件下某件事发生的概率是多少。条件概率其实反应了一个朴素的概念,你平时在推理不确定的事情时,下意识的需要去找和事情有关的证据,因为证据越多你对不确定的事情的推理就越有信心。

举个例子,某个城市发生了交通造事逃逸,假设这个城市只有两种车,15%是蓝车,85%绿车。假设你是交警,请判断撞人的是蓝车还是绿车?

如果没有任何证人的情况下,我们只能盲猜,所以被蓝车撞的可能性是15%,被绿车撞是85%。

这时突然跳出一个证人说,他看到的是蓝车,但是他不太确定,只有8成(80%)把握(假设他的八成把握已经过了真理的验证)。

请问此时的蓝车还是驴车的概率是多少呢?

这里要开始飙数学了啊,别吓到哈。

说明一些数学标记。

  • 设证据为E,蓝车为B,绿车为G,”~”表示非,如~B表示非蓝则~B=G,同理~G=B
  • P(蓝车)=P(B)=P(~G)=0.15,P(绿车)=P(G)=0.85
  • P(其实是蓝色的情况下,证人说是蓝色)=P(E|B)
  • P(其实是绿车的情况下,证人说是蓝色)=P(E|G)

这时,有两种情况

  1. 撞人的是蓝车,证人说是蓝车。则P(蓝车且证人说是蓝车)=P(E,B)=P(B) x P(E|B)=0.15×0.8=0.12
  2. 撞人的是绿车,证人说是蓝车。则P(绿车且证人说是蓝车)=P(E,~B)=P(~B)xP(E|~B)=P(~B) x(1 – P(~E|~B))=0.85x(1-0.8)=0.17

所以P(E)=P(E,B)+P(E,~B)=0.12+0.17=0.29

所以呢,在有证人的情况下,车为蓝色的概率为P(B|E)=P(E,B)/P(E)=0.12/0.29=0.41=41%

原本在我们瞎猜的情况下,我们的认为是蓝车的概率15%,但是一旦了新的证据出现,则在这个证据下的概率增强到41%。若又出来第二个人说也是蓝车,可以计算得知此时的概率为73%。

所以说,条件概率从数学的角度证明了我们对于不确定的事,为什么总要去找更多的证据的原因哈。

关于我:

linxinzhe,全栈工程师,目前供职于某世界500强银行的金融科技部门(人工智能,区块链)。

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    原文作者:linxinzhe
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