数据结构（二）：算法及其描述

2023年2月13日 270次阅读 来源: 渔父歌

一、算法及其描述

1、什么是算法

数据元素之间的关系有逻辑关系和物理关系，对应的操作有逻辑结构上的操作功能和具体存储结构上的操作实现。

把 具体存储结构上的操作实现方法 称为算法。

确切地说，算法是对特定问题求解步骤的一种描述，它是指令的有限序列，其中每一条指令包含一个或多个计算机操作。

一个算法具有如下特性：

  • 有穷性：一个算法 必须总是 （对任何合法的输入值）在执行有穷步后结束，而且每一步都要在有穷的时间内完成。也就是说，一个算法对任意一组合法的输入值，在执行有穷步骤后一定能结束。

  • 确定性：对于每种情况下算法应该执行的操作，在算法中都应该有明确的规定，使算法的执行者或阅读者能够明确其含义及如何执行。并且在任何条件下，算法只能由一条执行路径。

    也就是说，对于任意一组给定的合法输入值，算法要执行的操作是确定的。

  • 可行性：算法中的所有操作都必须足够基本，都可以通过已经实现的基本操作运算有限次实现。

  • 有输入：作为算法加工对象的量值，通常体现为算法中的一组变量。有些输入需要在算法执行中给出，而有些算法看似没有输入，实际上已经内嵌在代码中。

  • 有输出：输出是与输入由确定关系的一组量值，是算法进行信息加工后的到的结果，这种确定关系就是算法的功能。

2、算法描述

我们有许多方法来描述一个算法，如：

设计一个算法：求解一元二次方程组
《数据结构（二）：算法及其描述》
我们分别用文字描述和 C/C++语言来描述设计的算法：

语言描述：
  1. 计算 d = b*b – 4*a*c
  2. 如果 d > 0，则转第 5步
  3. 如果 d = 0，则转第 9步
  4. 如果 d < 0，则转第 12步
  5. 计算 x1 = (-b + sqrt(d)) / (2*a)
  6. 计算 x2 = (-b – sqrt(d)) / (2*a)
  7. 显示 x1和 x2的值
  8. 转第 13步
  9. 计算 x = (-b) / (2*a)
  10. 显示 x的值
  11. 转第 13步
  12. 显示没有实根
  13. 算法结束
C/C++语言描述
void solution(float a, float b, float c){
    float d, x1, x2, x;
    d = b*b - 4*a*c;
    if(d>0){
        x1 = (-b + sqrt(d)) / (2*a);
        x2 = (-b - sqrt(d)) / (2*a);
        printf("两个实根是：x1=%f, x2=%f\n", x1, x2);
    }
    else if(d==0){
        x = (-b) / (2*a);
        printf("一个实根是：x=%f\n", x);
    }
    else{
        printf("不存在实根\n");
    }
}

从上面的两个例子我们可以看出用 C/C++来描述的算法结构更清晰（编写的程序结构化更高，对 d的三种不同情况的处理一目了然）。

3、算法分析

在一个算法设计好后，还需要对其进行分析来确定一个算法的好坏。

算法设计的目标
  1. 正确性：要求算法能够正确地预先规定的功能和性能要求。这是最重要也是最基本的标准。
  2. 可使用性：要求算法能够方便地使用，对用户要友好。
  3. 可读性：算法应该易于人地理解。为了达到这个要求，算法的逻辑必须是清晰的、简单的，代码应该是结构化的。
  4. 健壮性：算法应该具有很好的容错性，能够对不合理的数据进行检查，不经常出现异常中断或者死机的现象。
  5. 高效率和低存储量
算法效率分析

通常由两种衡量算法效率的方法：事后统计法和事前分析估算法。

事后分析法存在以下缺点：

  1. 必须执行程序
  2. 存在其他因素掩盖算法本质

所以我们一般采用事前分析法。

一般来说，一个程序的运行速度不仅和算法有关，还和运行程序的计算机和所处计算机环境有关。所以我们需要撇开这些计算机软件、硬件有关的因素，仅考虑算法本身的效率高低。

一个算法是由控制结构（顺序、分支和循环）和原操作（固有的数据类型的操作，或者可以理解为分支和循环里要执行的操作）构成的。

为了比较同一问题的不同算法，通常从算法中选取一种对所研究的问题来说是基本运算的原操作，算法执行的时间大致为原操作的执行时间和被执行的次数的乘积。

显然，在一个算法中，执行原操作的次数越少，其运行时间也就相对地越少；执行的原操作次数越多，其运行时间也就相对地越多。

所以通常把算法中执行原操作地次数称为算法地时间复杂度，也就是说，一个算法地时间复杂度就是指其原操作在算法中反复执行的次数。

算法中基本运算次数（原操作）T(n)是问题规模 n的某个函数，记作：
《数据结构（二）：算法及其描述》
“O”的定义为：若 f(n)是正整数 n的一个函数，则 T(n)=O(f(n))表示存在一个正整数 M，使得当 n>=n0时都满足
《数据结构（二）：算法及其描述》
也就是说，我们只需要求出 f(n)的最高阶，而忽略其低阶项和常系数，例如：
《数据结构（二）：算法及其描述》

算法存储空间分析

一个算法的存储量包括输入数据所占空间、程序本身所占空间和辅助变量所占空间。

在对算法进行存储空间分析时，只考虑辅助变量所占空间。所以，空间复杂度是对一个算法在运行过程中临时占用的存储空间大小的量度。

与时间复杂度类似，空间复杂度也是问题规模 n的函数，也以数量级的形式给出，记作：
《数据结构（二）：算法及其描述》
若所需额外空间相对于输入数据量来说是常数，则称此算法为原地工作或就地工作。若所需存储量依赖于输入，则通常按最坏的情况考虑。

转载自：
数据结构教程（第二版）
李春葆 等 编著
清华大学出版社
ISBN：978-7-302-14229-4

    原文作者：渔父歌
    原文地址: https://www.jianshu.com/p/bc9082a81f8c
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