树的定义
1. 树的定义
- 树是 n ( n >= 0 ) 个结点的有限集，n = 0 时称为空树
- 任意一棵非空树中，有且仅有一个根结点
- 当 n > 1 时，其余结点分为 m（m > 0）个互不相交的有限集
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2. 结点概念
- 结点：树的结点包含一个数据元素及若干个指向子树的分支
- 结点的度：结点拥有的子树
- 叶子结点：度为 0 的结点
- 分支结点：度不为 0 的结点
- 内部结点：除根结点以外，分支结点也称为内部结点
- 树的度：树内各结点的度的最大值
- 树的深度：树中结点最大层次称为树的深度
3. 结点之间的关系
- 结点的父结点称为双亲（Parent）
- 同一个父结点的子结点之间称为兄弟结点（sibling）
- 无序树和有序树：如果将树中结点的各子树看成从左至右是有次序的，不能互换的，则称该数为有序树，否则为无序树
4. 树的抽象数据类型
- Data（数据元素）：树是由一个根结点和若干棵子树构成，树中结点具有相同的数据类型及层次关系
- 基本操作
| 方法 | 描述 |
|---|---|
| InitTree(*T) | 构造空树 T |
| DestoryTree(*T) | 销毁树 T |
| ClearTree(*T，definition) | 按 definition 中给出的树定义来构造树 |
| ClearTree(*T) | 若树 T 存在，则将树 T 清为空树 |
| TreeEmpty(T) | 若 T 为空树返回 true，否则 false |
| TreeDepth(T) | 返回 T 的深度 |
| Root(T) | 返回 T 的根结点 |
| Value(T,cur_e) | cur_e 是树 T 中一个结点，返回此结点的值 |
| Assign(T,cur_e,value) | 给树 T 的结点 cure_e 赋值为 value |
| Parent（T,cur_e） | 若 cur_e 是树 T 的非根结点，则返回它的双亲，否则返回空 |
| LeftChild(T,cur_e) | 若 cur_e 是树 T 的非叶结点，则返回它最左的子结点，否则返回空 |
| RightSibling(T,cur_e) | 若 cur_e 有右兄弟，则返回它的右兄弟，否则返回空 |
| InsertChild(T,p,i,c) | 其中 p 指向树 T 的某个结点，i 为所指结点 p 的度加上 1，非空树 c 与 T 不想交，操作结果为插入 c 为 树 T 中 p 指结点的第 i 棵子树 |
| DeleteChild(T,p,i) | 其中 p 指向树 T 的某个结点，i 为所指结点 p 的度，操作结果为删除 T 中 p 所指结点的第 i 棵子树 |
树的顺序存储
简单的顺序存储结构是不能满足树的实现要求的，需要充分利用顺序存储和链式存储结构的特点，如何表示树与其子树之间的关系，主要有三种不同的表示法：双亲表示法、孩子表示法、孩子兄弟表示法
1.双亲表示法
每个结点除了知道自己是谁以外，还要知道其双亲结点（Parent），通过结点的 parent 找到其父结点，时间复杂度为 O(1)，直到 parent 为 -1 时，表示找到了树的根，根结点没有双亲，所以根结点的位置域为 -1
双亲表示法结构
| data（数据域） | parent（指针域） |
|---|---|
| 存储结点的数据信息 | 存储该结点的双亲所在数组中的下标 |
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双亲表示法的子结点与兄弟结点
- 要知道结点的子结点，可以增加一个长子域，它指向结点最左边的子结点
- 要知道结点的兄弟结点，可以增加一个右兄弟域，它指向某子结点右边的结点，若右兄弟不存在，则赋值为 -1
2.孩子表示法
把每个结点的子结点排列起来，以单链表作为存储结构，n 个结点有 n 个子结点链表，如果是叶子结点则此单链表为空，然后 n 个头指针又组成一个线性表，采用顺序存储结构，存放在一个一维数组中
孩子表示法结构
- 子结点链表的子结点
| child（数据域） | next（指针域） |
|---|---|
| 存储某个结点在表头数组中的下标 | 存储指向某结点的下一个孩子结点的指针 |
- 表头数组的表头结点
| data（数据域） | firstchild（头指针域） |
|---|---|
| 存储某个结点的数据信息 | 存储该结点的孩子链表的头指针 |
3.孩子兄弟表示法
任意一棵树，它的结点的第一个孩子如果存在就是唯一的，它的右兄弟如果存在也是唯一的，因此我们设置两个指针，分别指向该结点的第一个子结点和此结点的右兄弟
孩子兄弟表示法结构
| data（数据域） | firstchild（指针域） | rightchild（指针域） |
|---|---|---|
| 存储结点的数据信息 | 存储该结点的第一个孩子的存储地址 | 存储该结点的右兄弟结点的存储地址 |
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