文章作者：Tyan
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1. 素数

质数（Prime number），又称素数，指在大于1的自然数中，除了1和该数自身外，无法被其他自然数整除的数（也可定义为只有1与该数本身两个正因数的数）。大于1的自然数若不是素数，则称之为合数。

2. 求1000000以内的素数

• 方法一 遍历法

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <time.h>
#define NUM 1000000
using namespace std;
int main() {
    int i, j;
    clock_t start, end;
    double duration;
    start = clock();
    for(i = 2; i <= NUM; i++) {
        for(j = 2; j < i; j++) {
            if(i % j == 0) {
                break;
            }
        }
        if(j == i) {
            printf("%d\n", i);
        }
    }
    end = clock();
    duration = (double)(end - start) / CLOCKS_PER_SEC;
    printf("%f seconds.\n", duration);
    return 0;
}

分析：上面的方法最容易想到，但同时效率也最低。其运行时间：133.186849 seconds.。

• 方法二 在上面的基础上进行改进

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <time.h>
#define NUM 1000000
using namespace std;
int main() {
    int i, j;
    clock_t start, end;
    double duration;
    start = clock();
    printf("%d\n", 2);
    for(i = 3; i <= NUM; i += 2) {
        for(j = 3; j < i; j += 2) {
            if(i % j == 0 || j * j > i) {
                break;
            }
        }
        if(j * j > i) {
            printf("%d\n", i);
        }
    }
    end = clock();
    duration = (double)(end - start) / CLOCKS_PER_SEC;
    printf("%f seconds.\n", duration);
    return 0;
}

分析：在上面的基础上，首先我们可以确定除了2之外的偶数都可以排除，同时如果执行到某个数的平方根（邻近的整数）都不能被其整除，则其后的数字都不能被其整除，如果可以整除，则另一个因子必定在平方根之前的数中。其运行时间：0.194340 seconds.。

• 方法三 筛法

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <time.h>
#define NUM 1000000
using namespace std;

bool is_prime[NUM + 1];
int main() {
    clock_t start, end;
    double duration;
    start = clock();
    for (int m = 2; m < NUM; m++) {
        is_prime[m] = true;
    }
    for(int i = 2; i <= NUM; i++) {
        if(is_prime[i]) {
            for(int j = 2 * i; j < NUM; j += i) {
                is_prime[j] = false;
            }
        }
    }
    for(int i = 2; i <= NUM; i++) {
        if(is_prime[i]) {
            printf("%d\n", i);
        }
    }
    end = clock();
    duration = (double)(end - start) / CLOCKS_PER_SEC;
    printf("%f seconds.\n", duration);
    return 0;
}

分析：筛法是指假设所有数都为素数，然后遍历，如果其为素数，则其倍数皆为和数，遍历所有数即可。其运行时间：0.021246 seconds.。

总结：从上面的运行时间可以看出，不同的方法运行时间差异非常大，代码要注意优化。

参考资料

1. 程序设计与算法（一）