一、题目
给定一个字符串 s，找到 s 中最长的回文子串。你可以假设 s 的最大长度为 1000。
示例 1：
输入: “babad”
输出: “bab”
注意: “aba” 也是一个有效答案。
示例 2：
输入: “cbbd”
输出: “bb”
二、解题
首先用一个非常巧妙的方式，将所有可能的奇数/偶数长度的回文子串都转换成了奇数长度：在每个字符的两边都插入一个特殊的符号。比如 abba 变成 #a#b#b#a#， aba变成 #a#b#a#。 为了进一步减少编码的复杂度，可以在字符串的开始加入另一个特殊字符，这样就不用特殊处理越界问题，比如$#a#b#a#（注意，下面的代码是用C语言写就，由于C语言规范还要求字符串末尾有一个’\0’所以正好OK，但其他语言可能会导致越界）。
下面以字符串12212321为例，经过上一步，变成了 S[] = “$#1#2#2#1#2#3#2#1#”;
然后用一个数组 P[i] 来记录以字符S[i]为中心的最长回文子串向左/右扩张的长度（包括S[i]，也就是把该回文串“对折”以后的长度），比如S和P的对应关系：
S # 1 # 2 # 2 # 1 # 2 # 3 # 2 # 1 #
P 1 2 1 2 5 2 1 4 1 2 1 6 1 2 1 2 1
(p.s. 可以看出，P[i]-1正好是原字符串中回文串的总长度）
那么怎么计算P[i]呢？该算法增加两个辅助变量（其实一个就够了，两个更清晰）id和mx，其中 id 为已知的 {右边界最大} 的回文子串的中心，mx则为id+P[id]，也就是这个子串的右边界。
然后可以得到一个非常神奇的结论，这个算法的关键点就在这里了：如果mx > i，那么P[i] >= MIN(P[2 * id – i], mx – i)。就是这个串卡了我非常久。实际上如果把它写得复杂一点，理解起来会简单很多：
//记j = 2 * id - i，也就是说 j 是 i 关于 id 的对称点(j = id - (i - id))
if (mx - i > P[j])
P[i] = P[j];
else /* P[j] >= mx - i */
P[i] = mx - i; // P[i] >= mx - i，取最小值，之后再匹配更新。
当然光看代码还是不够清晰，还是借助图来理解比较容易。
当 mx – i > P[j] 的时候，以S[j]为中心的回文子串包含在以S[id]为中心的回文子串中，由于 i 和 j 对称，以S[i]为中心的回文子串必然包含在以S[id]为中心的回文子串中，所以必有 P[i] = P[j]，见下图。
image.png
当 P[j] >= mx – i 的时候，以S[j]为中心的回文子串不一定完全包含于以S[id]为中心的回文子串中，但是基于对称性可知，下图中两个绿框所包围的部分是相同的，也就是说以S[i]为中心的回文子串，其向右至少会扩张到mx的位置，也就是说 P[i] >= mx – i。至于mx之后的部分是否对称，就只能老老实实去匹配了。
image.png
对于 mx <= i 的情况，无法对 P[i]做更多的假设，只能P[i] = 1，然后再去匹配了。
于是代码如下：
//输入，并处理得到字符串s
int p[1000], mx = 0, id = 0;
memset(p, 0, sizeof(p));
for (i = 1; s[i] != '\0'; i++) {
p[i] = mx > i ? min(p[2*id-i], mx-i) : 1;
while (s[i + p[i]] == s[i - p[i]]) p[i]++;
if (i + p[i] > mx) {
mx = i + p[i];
id = i;
}
}
//找出p[i]中最大的
三、代码示例
class Solution {
func longestPalindrome(_ s: String) -> String {
if s.count <= 1 {
return s
}
// 1.间隔之间先插入#
var S = ["#"]
for character in s {
S.append(String(character))
S.append("#")
}
// 2.遍历找出以每个节点作为轴最长半径
var maxId:Int = 0
var max:Int = 0
var P:[Int] = [1]
var maxLength:Int = 1
var maxLengthIndex = 0
for i in 1...S.count - 1 {
// j是相对于maxId的i的左边的对称点
let j:Int = maxId - (i - maxId)
if max > i && j >= 0 {
// 优化部分,请见文章
P.append(min(P[j], max - i))
}else{
P.append(1)
}
// 循环判断以i位置为中心的左右两侧是否相同,相同加1
while i + P[i] <= S.count - 1 && i - P[i] >= 0 && S[i + P[i]] == S[i - P[i]]{
P[i] += 1
}
if i + P[i] - 1 > max {
// 以i为中心的子回文的最后一个元素的位置
max = i + P[i] - 1
// 记录i为回文子串的中心id
maxId = i
}
// 判断最长回文的长度,并记录
if P[i] > maxLength {
maxLength = P[i]
maxLengthIndex = i
}
print("i:\(i) maxId:\(maxId) max:\(max) maxLength:\(maxLength) maxLengthIndex:\(maxLengthIndex) P:\(P)")
}
let leftIndex = s.index(s.startIndex, offsetBy: (maxLengthIndex - (maxLength - 1))/2)
let rightIndex = s.index(leftIndex, offsetBy:maxLength - 1 - 1)
return String(s[leftIndex...rightIndex])
}
}
Demo地址：github
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