写在前面

一直想梳理一下这部分的知识，借此机会写一下学习的笔记。

面向读者：有一定代数基础（似乎有代数基础的同学都会这个，哭唧唧

由于我也是照着书在写，所以谢绝转载，仅供学习交流。

集合

什么是集合？相信这是个可以甩上知乎问，并能得到许多优质答案的问题。

我们不必在此研究得太深，我们只需要知道，集合是具有某种特定性质的事物的总体。

比如喜欢逛知乎的人，或者小于100的所有正偶数。

我们用 来表示具备性质 的集合。

容斥原理

容斥原理呢，可能是我们在小学就会学到的数学知识，即使它是如此的浅显易懂，但也是组合数学中非常强有力的工具。

在形式化定义之前，先来感受一些例子。

我们有两个集合 （喜欢刷知乎的人，喜欢逛B站的人）。

我们想计算他们并的大小 （喜欢刷知乎或者喜欢逛B站的人）。

一个傻傻的做法就是直接把两个集合的大小加起来： ，显然这是算多了的，他们重复的部分被计算了两次，所以我们得减去重复计算的部分： （既喜欢刷知乎，又喜欢逛B站）。

如下图（通常叫做文氏图）所示：

于是我们就得到了计算 的方式：

现在我们考虑三个集合 ，我们依然想知道他们的并的大小 ，相似得，我们画个文氏图：

不难观察出三个集合时得计算方法：

既是，加上被覆盖一次得，减去被覆盖两次的，加上被覆盖三次的。

有了这些观察，我们就能得出容斥原理求并版本的公式：

定理1（容斥原理，求并）：如果 时有限集合，那么：

其中 表示集合 。

证明：考虑任意一个元素 。他有性质 ，当然，也被包括在了集合 中。我们观察 在等式右边的贡献。如果 ，当且仅当性质集合 是 的性质集合的子集，即 。所以 对等式右边的贡献应当是：

所以每个元素在等式的左右两边都只贡献了 ，所以等式成立。

证毕。

有了定理1，我们就能计算求并的容斥原理啦，同样的，我们也能给出求交模式的容斥原理：

定理2（容斥原理，求交）：给出集合 ，并且定义 ，那么：

证明留作练习。