这次介绍一个和最小生成树问题很类似的，名叫斯坦纳树的问题。
斯坦纳树有很多版本，这里我们说的是在图论中的斯坦纳树问题。
斯坦纳树（Steiner Tree）
定义有点复杂，容我先编个故事。
国家A和国家B在打仗，国家B无情地对国家A发动了地毯式轰炸，破坏了国家A城市间的所有道路。
为了尽快恢复，国家A列出了某些重要城市的名单，并研究出了修复每条道路的成本。如下图所示：
点代表城市，红色的点表示重要城市，边代表道路，边上的数字代表修复这条道路的成本。
现在问，如何在最小成本的情况下，修复道路，使得这些重要城市保持连通。比如上图中，按如下的选择，就可以达到最小的成本：
花费了10的成本，保证了重要城市的连通。
显然，我们最后的结果一定是棵树。但和最小生成树不同的是，我们不用保证所有店都连通，只需要保证部分点连通即可。这就是斯坦纳树问题。
定义：给一个连通无向图 ，和边权
。现在有一个点集
，求一个边权和最小的连通子图
，使得
。其中
就被称为斯坦纳树。
斯坦纳树也是一个NPH问题。
下面给出斯坦纳树的若干种解法。
暴力解法
在一个放弃思考的情况下，不难得出一个暴力的解法：直接枚举点子集，而后跑个最小生成树。这样做的复杂度是 ，其中
。
显然暴力做法在 很大，
很小的时候，是非常不理智的。鉴于只需要考虑
中的点，我们可以从动态规划的角度来解决。
动态规划
动态规划可以优美的做到 ，至于怎么实现，由于我主要想介绍容斥原理（我懒），所以就留给大家做练习啦。
提示一下：状态维护两维，一维是当前的集合，一维是当前的根。
容斥原理做法
特别提示：这里的介绍的容斥原理做法，只能解决边权都是 的情况，即
，无权图。
为了方便处理，我们需要将问题定义成判定型问题：
定义（无权斯坦纳树）：给一个无向图 ，一个点子集
，和一个非负数
。我们的目的是判断是否存在一棵最多
条边的树
，使得
。
在本系列之前的文章中，我们用容斥原理统计了一个图的哈密顿圈的个数。
我们发现，相比研究圈（circle）、路径（path），通过研究游走（walk），来进行容斥是个更不错的主意。
于是，我们在这个问题中，也尝试通过游走来分析。
与之前的统计哈密顿圈不同，这里我们研究的游走是分支游走（branching walk）。
定义（分支游走）：一个无向图 的分支游走定义为一个二元组
，其中
是一棵有根有序树（rooted ordered tree），并且
是一个同态（homomorphism）映射，即，
，有
。通常称
为
的长度。
举个例子，如下图所示：
数字表示了同态映射的对应关系
定理4：拿出 中的任意一点
。如果图
包含了一棵树
，并且
，
，当且仅当，图
包含一个从
开始的分支游走
，满足
，
。
定理4的是可以直观感受到的。
事实上，由于一棵树本身就是一个分支游走，所以如果一棵边数小于等于 的树覆盖了
中所有点，那么就存在了一个长度不超过
的分支游走（就是这棵树本身）。如果一个长度大小等于
的分支游走覆盖了
中所有点，那么这个分支游走的生成树就是边数不大于
的一棵斯坦纳树。
如下图所示：
红色的点是K中的点，图G中存在一个长度为7的分支游走，同样也存在一个边数为4的斯坦纳树。
有了定理4，我们就只需要统计，图中有多少从 开始，并且长度为
的分支游走，覆盖了
中所有点。
我们照着葫芦画瓢：
- 令全集
表示从
开始，长度为
的所有分支游走。
- 对
，令
，即访问了
的所有
- 我们的目标就是计算
根据定理2，我们有：
于是我们的目标就是计算 ，既是，从
出发，长度为
，不访问
中的任意一点的分支游走的方案数。
定理5：对于 ，
可以在
的复杂度内计算出来，其中
。
证明：我们使用动态规划来证明这个复杂度。令 。令
表示在
中从
出发，走长度为
的分支游走的方案数。有转移方程：
相当于枚举了 作为
的第一个儿子。如下图所示：
状态数是 ，转移数是
，所以求解
的复杂度就是
。
综上，我们便能通过统计分支游走的数量，来判断是否存在小于 的斯坦纳树。
定理6：无权斯坦纳树问题可以在 的时间内解决。
