数据结构 – 二叉树 – 面试中常见的二叉树算法题
数据结构是面试中必定考查的知识点，面试者需要掌握几种经典的数据结构：线性表（数组、链表）、栈与队列、树（二叉树、二叉查找树、平衡二叉树、红黑树）、图。
本文主要介绍树中的常见的二叉树数据结构。包括
- 概念简介
- 二叉树中树节点的数据结构（Java）
- 二叉树的遍历（Java）
- 常见的二叉树算法题（Java）
概念简介
如果对二叉树概念已经基本掌握，可以跳过该部分，直接查看常见链表算法题。
二叉树基本概念
二叉树在图论中是这样定义的：二叉树是一个连通的无环图，并且每一个顶点的度不大于3。有根二叉树还要满足根结点的度不大于2。有了根结点之后，每个顶点定义了唯一的父结点，和最多2个子结点。二叉树性质如下：
- 二叉树的每个结点至多只有二棵子树(不存在度大于2的结点)，二叉树的子树有左右之分，次序不能颠倒。
- 二叉树的第 i 层至多有 2i−1 个结点。
- 深度为 k 的二叉树至多有 2k−1 个结点。
- 对任何一棵二叉树T，如果其终端结点数为 n0 ，度为2的结点数为 n2 ，则 n0=n2+1 。
- 一棵深度为k，且有 2k−1 个节点称之为满二叉树；
- 深度为k，有n个节点的二叉树，当且仅当其每一个节点都与深度为k的满二叉树中，序号为1至n的节点对应时，称之为完全二叉树。
- 平衡二叉树又被称为AVL树（区别于AVL算法），它是一棵二叉排序树，且具有以下性质：它是一棵空树或它的左右两个子树的高度差的绝对值不超过1，并且左右两个子树都是一棵平衡二叉树。
二叉树中树节点的数据结构
二叉树由一系列树结点组成，每个结点包括三个部分：一个是存储数据元素的数据域，另一个是存储左子结点地址的指针域，另一个是存储右子结点地址的指针域。
定义树节点为类：TreeNode。具体实现如下：
public class TreeNode {
public int val; // 数据域
public TreeNode left; // 左子树根节点
public TreeNode right; // 右子树根节点
public TreeNode() {
}
public TreeNode(int val) {
this.val = val;
}
}二叉树的遍历
1. 前序遍历
递归解法：
- 如果二叉树为空，空操作
- 如果二叉树不为空，访问根节点，前序遍历左子树，前序遍历右子树
/** * 1. 前序遍历 * 递归 * @param root 树根节点 */
public static void preorderTraversalRec(TreeNode root){
if (root == null) {
return;
}
System.out.print(root.val + "->");
preorderTraversalRec(root.left);
preorderTraversalRec(root.right);
}非递归解法：用一个辅助stack，总是先把右孩子放进栈。
/** * 1. 前序遍历 * 非递归 * @param root 树根节点 */
public static void preorderTraversal2(TreeNode root) {
if (root == null) {
return;
}
Stack<TreeNode> stack = new Stack<>(); // 辅助栈
TreeNode cur = root;
while (cur != null || !stack.isEmpty()) {
while (cur != null) { // 不断将左子节点入栈，直到cur为空
stack.push(cur);
System.out.print(cur.val + "->"); // 前序遍历，先打印当前节点在打印左子节点，然后再把右子节点加到栈中
cur = cur.left;
}
if (!stack.isEmpty()) { // 栈不为空，弹出栈元素
cur = stack.pop(); // 此时弹出最左边的节点
cur = cur.right; // 令当前节点为右子节点
}
}
}
/** * 1. 前序遍历 * 非递归解法2 * @param root 树根节点 */
public static void preorderTraversal(TreeNode root) {
if (root == null) {
return;
}
Stack<TreeNode> stack = new Stack<>(); // 辅助栈保存树节点
stack.add(root);
while (!stack.isEmpty()) { // 栈不为空
TreeNode temp = stack.pop();
System.out.print(temp.val + "->"); // 先根节点，因为是前序遍历
if (temp.right != null) { // 先添加右孩子，因为栈是先进后出
stack.add(temp.right);
}
if (temp.left != null) {
stack.add(temp.left);
}
}
}2. 中序遍历
递归解法：
- 如果二叉树为空，空操作
- 如果二叉树不为空，中序遍历左子树，访问根节点，中序遍历右子树
/** * 2. 中序遍历 * 递归 * @param root 树根节点 */
public static void inorderTraversalRec(TreeNode root){
if (root == null) {
return;
}
inorderTraversalRec(root.left);
System.out.print(root.val + "->");
inorderTraversalRec(root.right);
}非递归解法：用栈先把根节点的所有左孩子都添加到栈内，然后输出栈顶元素，再处理栈顶元素的右子树。
/** * 2. 中序遍历 * 非递归 * @param root 树根节点 */
public static void inorderTraversal(TreeNode root) {
if (root == null) {
return;
}
Stack<TreeNode> stack = new Stack<>(); // 辅助栈
TreeNode cur = root;
while (cur != null || !stack.isEmpty()) {
while (cur != null) { // 不断将左子节点入栈，直到cur为空
stack.push(cur);
cur = cur.left;
}
if (!stack.isEmpty()) { // 栈不为空，弹出栈元素
cur = stack.pop(); // 此时弹出最左边的节点
System.out.print(cur.val + "->"); // 中序遍历，先打印左子节点在打印当前节点，然后再把右子节点加到栈中
cur = cur.right; // 令当前节点为右子节点
}
}
}3. 后序遍历
递归解法：
- 如果二叉树为空，空操作
- 如果二叉树不为空，后序遍历左子树，后序遍历右子树，访问根节点
/** * 3. 后序遍历 * 递归 * @param root 树根节点 */
public static void postorderTraversalRec(TreeNode root){
if (root == null) {
return;
}
postorderTraversalRec(root.left);
postorderTraversalRec(root.right);
System.out.print(root.val + "->");
}非递归解法：双栈法。
/** * 3. 后序遍历 * 非递归 * @param root 树根节点 */
public static void postorderTraversal(TreeNode root) {
if(root == null) {
return;
}
Stack<TreeNode> stack1 = new Stack<>(); // 保存树节点
Stack<TreeNode> stack2 = new Stack<>(); // 保存后序遍历的结果
stack1.add(root);
while (!stack1.isEmpty()) {
TreeNode temp = stack1.pop();
stack2.push(temp); // 将弹出的元素加到stack2中
if (temp.left != null) { // 左子节点先入栈
stack1.push(temp.left);
}
if (temp.right != null) { // 右子节点后入栈
stack1.push(temp.right);
}
}
while (!stack2.isEmpty()) {
System.out.print(stack2.pop().val + "->");
}
}4. 层次遍历
思路：分层遍历二叉树（按层次从上到下，从左到右）迭代，相当于广度优先搜索，使用队列实现。队列初始化，将根节点压入队列。当队列不为空，进行如下操作：弹出一个节点，访问，若左子节点或右子节点不为空，将其压入队列。
/** * 4. 层次遍历 * @param root 根节点 */
public static void levelTraversal(TreeNode root){
if(root == null) {
return;
}
Queue<TreeNode> queue = new LinkedList<>(); // 对列保存树节点
queue.add(root);
while (!queue.isEmpty()) {
TreeNode temp = queue.poll();
System.out.print(temp.val + "->");
if (temp.left != null) { // 添加左右子节点到对列
queue.add(temp.left);
}
if (temp.right != null) {
queue.add(temp.right);
}
}
}常见的二叉树算法题
1. 求二叉树中的节点个数
递归解法： O(n)
- 如果二叉树为空，节点个数为0
- 如果二叉树不为空，二叉树节点个数 = 左子树节点个数 + 右子树节点个数 + 1
/** * 1. 求二叉树中的节点个数 * 递归 * @param root 树根节点 * @return 节点个数 */
public static int getNodeNumRec(TreeNode root) {
if (root == null) {
return 0;
}
return getNodeNumRec(root.left) + getNodeNumRec(root.right) + 1;
}非递归解法： O(n) 。基本思想同LevelOrderTraversal。即用一个Queue，在Java里面可以用LinkedList来模拟。
/** * 1. 求二叉树中的节点个数 * 非递归 * @param root 树根节点 * @return 节点个数 */
public static int getNodeNum(TreeNode root) {
if (root == null) {
return 0;
}
Queue<TreeNode> queue = new LinkedList<>(); // 用队列保存树节点，先进先出
queue.add(root);
int count = 1; // 节点数量
while (!queue.isEmpty()) {
TreeNode temp = queue.poll(); // 每次从对列中删除节点，并返回该节点信息
if (temp.left != null) { // 添加左子孩子到对列
queue.add(temp.left);
count++;
}
if (temp.right != null) { // 添加右子孩子到对列
queue.add(temp.right);
count++;
}
}
return count;
}2. 求二叉树的深度（高度）
递归解法： O(n)
- 如果二叉树为空，二叉树的深度为0
- 如果二叉树不为空，二叉树的深度 = max(左子树深度， 右子树深度) + 1
/** * 求二叉树的深度（高度） * 递归 * @return 树的深度 */
public static int getDepthRec(TreeNode root) {
if (root == null) {
return 0;
}
return Math.max(getDepthRec(root.left), getDepthRec(root.right)) + 1;
}非递归解法： O(n) 。基本思想同LevelOrderTraversal。即用一个Queue，在Java里面可以用LinkedList来模拟。
/** * 求二叉树的深度（高度） * 非递归 * @param root 树根节点 * @return 树的深度 */
public static int getDepth(TreeNode root) {
if (root == null) {
return 0;
}
int currentLevelCount = 1; // 当前层的节点数量
int nextLevelCount = 0; // 下一层节点数量
int depth = 0; // 树的深度
Queue<TreeNode> queue = new LinkedList<>(); // 对列保存树节点
queue.add(root);
while (!queue.isEmpty()) {
TreeNode temp = queue.remove(); // 移除节点
currentLevelCount--; // 当前层节点数减1
if (temp.left != null) { // 添加左节点并更新下一层节点个数
queue.add(temp.left);
nextLevelCount++;
}
if (temp.right != null) { // 添加右节点并更新下一层节点个数
queue.add(temp.right);
nextLevelCount++;
}
if (currentLevelCount == 0) { // 如果是该层的最后一个节点，树的深度加1
depth++;
currentLevelCount = nextLevelCount; // 更新当前层节点数量并且重置下一层节点数量
nextLevelCount = 0;
}
}
return depth;
}3. 求二叉树第k层的节点个数
递归解法： O(n)
思路：求以root为根的k层节点数目，等价于求以root左孩子为根的k-1层（因为少了root）节点数目 加上以root右孩子为根的k-1层（因为 少了root）节点数目。即：
- 如果二叉树为空或者k<1，返回0
- 如果二叉树不为空并且k==1，返回1
- 如果二叉树不为空且k>1，返回root左子树中k-1层的节点个数与root右子树k-1层节点个数之和
/** * 求二叉树第k层的节点个数 * 递归 * @param root 根节点 * @param k 第k个节点 * @return 第k层节点数 */
public static int getNodeNumKthLevelRec(TreeNode root, int k) {
if (root == null || k < 1) {
return 0;
}
if (k == 1) {
return 1;
}
return getNodeNumKthLevelRec(root.left, k - 1) + getNodeNumKthLevelRec(root.right, k - 1);
}4. 求二叉树中叶子节点的个数
递归解法：
- 如果二叉树为空，返回0
- 如果二叉树是叶子节点，返回1
- 如果二叉树不是叶子节点，二叉树的叶子节点数 = 左子树叶子节点数 + 右子树叶子节点数
/** * 4. 求二叉树中叶子节点的个数 * 递归 * @param root 根节点 * @return 叶子节点个数 */
public static int getNodeNumLeafRec(TreeNode root) {
if (root == null) {
return 0;
}
if (root.left == null && root.right == null) {
return 1;
}
return getNodeNumLeafRec(root.left) + getNodeNumLeafRec(root.right);
}非递归解法：基于层次遍历进行求解，利用Queue进行。
/** * 4. 求二叉树中叶子节点的个数（迭代） * 非递归 * @param root 根节点 * @return 叶子节点个数 */
public static int getNodeNumLeaf(TreeNode root){
if (root == null) {
return 0;
}
int leaf = 0; // 叶子节点个数
Queue<TreeNode> queue = new LinkedList<>();
queue.add(root);
while (!queue.isEmpty()) {
TreeNode temp = queue.poll();
if (temp.left == null && temp.right == null) { // 叶子节点
leaf++;
}
if (temp.left != null) {
queue.add(temp.left);
}
if (temp.right != null) {
queue.add(temp.right);
}
}
return leaf;
}5. 判断两棵二叉树是否相同的树
递归解法：
- 如果两棵二叉树都为空，返回真
- 如果两棵二叉树一棵为空，另外一棵不为空，返回假
- 如果两棵二叉树都不为空，如果对应的左子树和右子树都同构返回真，其他返回假
/** * 5. 判断两棵二叉树是否相同的树。 * 递归 * @param r1 二叉树1 * @param r2 二叉树2 * @return 是否相同 */
public static boolean isSameRec(TreeNode r1, TreeNode r2) {
if (r1 == null && r2 == null) { // 都是空
return true;
} else if (r1 == null || r2 == null) { // 有一个为空，一个不为空
return false;
}
if (r1.val != r2.val) { // 两个不为空，但是值不相同
return false;
}
return isSameRec(r1.left, r2.left) && isSameRec(r1.right, r2.right); // 递归遍历左右子节点
}非递归解法：利用Stack对两棵树对应位置上的节点进行判断是否相同。
/** * 5. 判断两棵二叉树是否相同的树（迭代） * 非递归 * @param r1 二叉树1 * @param r2 二叉树2 * @return 是否相同 */
public static boolean isSame(TreeNode r1, TreeNode r2){
if (r1 == null && r2 == null) { // 都是空
return true;
} else if (r1 == null || r2 == null) { // 有一个为空，一个不为空
return false;
}
Stack<TreeNode> stack1 = new Stack<>();
Stack<TreeNode> stack2 = new Stack<>();
stack1.add(r1);
stack2.add(r2);
while (!stack1.isEmpty() && !stack2.isEmpty()) {
TreeNode temp1 = stack1.pop();
TreeNode temp2 = stack2.pop();
if (temp1 == null && temp2 == null) { // 两个元素都为空，因为添加的时候没有对空节点做判断
continue;
} else if (temp1 != null && temp2 != null && temp1.val == temp2.val) {
stack1.push(temp1.left); // 相等则添加左右子节点判断
stack1.push(temp1.right);
stack2.push(temp2.left);
stack2.push(temp2.right);
} else {
return false;
}
}
return true;
}6. 判断二叉树是不是平衡二叉树
递归实现：借助前面实现好的求二叉树高度的函数
- 如果二叉树为空， 返回真
- 如果二叉树不为空，如果左子树和右子树都是AVL树并且左子树和右子树高度相差不大于1，返回真，其他返回假
/** * 6. 判断二叉树是不是平衡二叉树 * 递归 * @param root 根节点 * @return 是否二叉平衡树（AVL树） */
public static boolean isAVLTree(TreeNode root) {
if (root == null) {
return true;
}
if (Math.abs(getDepth(root.left) - getDepth(root.right)) > 1) { // 左右子树高度差大于1
return false;
}
return isAVLTree(root.left) && isAVLTree(root.right); // 递归判断左右子树
}7. 求二叉树的镜像
递归实现：破坏原来的树，把原来的树改成其镜像
- 如果二叉树为空，返回空
- 如果二叉树不为空，求左子树和右子树的镜像，然后交换左右子树
/** * 7. 求二叉树的镜像 * 递归 * @param root 根节点 * @return 镜像二叉树的根节点 */
public static TreeNode mirrorRec(TreeNode root) {
if (root == null) {
return root;
}
TreeNode left = mirrorRec(root.right); // 递归镜像左右子树
TreeNode right = mirrorRec(root.left);
root.left = left; // 更新根节点的左右子树为镜像后的树
root.right = right;
return root;
}递归实现：不能破坏原来的树，返回一个新的镜像树
- 如果二叉树为空，返回空
- 如果二叉树不为空，求左子树和右子树的镜像，然后交换左右子树
/** * 7. 求二叉树的镜像 * 递归 * @param root 根节点 * @return 镜像二叉树的根节点 */
public static TreeNode mirrorCopyRec(TreeNode root) {
if (root == null) {
return root;
}
TreeNode newRoot = new TreeNode(root.val); // 创建新节点，然后交换左右子树
newRoot.left = mirrorCopyRec(root.right);
newRoot.right = mirrorCopyRec(root.left);
return newRoot;
}非递归实现：破坏原来的树，把原来的树改成其镜像
/** * 7. 求二叉树的镜像 * 非递归 * @param root 根节点 * @return 镜像二叉树的根节点 */
public static void mirror(TreeNode root) {
if (root == null) {
return ;
}
Stack<TreeNode> stack = new Stack<>();
stack.push(root);
while (!stack.isEmpty()){
TreeNode cur = stack.pop();
// 交换左右孩子
TreeNode tmp = cur.right;
cur.right = cur.left;
cur.left = tmp;
if(cur.right != null) {
stack.push(cur.right);
}
if (cur.left != null) {
stack.push(cur.left);
}
}
}非递归实现：不能破坏原来的树，返回一个新的镜像树
/** * 7. 求二叉树的镜像 * 非递归 * @param root 根节点 * @return 镜像二叉树的根节点 */
public static TreeNode mirrorCopy(TreeNode root) {
if (root == null) {
return null;
}
Stack<TreeNode> stack = new Stack<TreeNode>();
Stack<TreeNode> newStack = new Stack<TreeNode>();
stack.push(root);
TreeNode newRoot = new TreeNode(root.val);
newStack.push(newRoot);
while (!stack.isEmpty()) {
TreeNode cur = stack.pop();
TreeNode newCur = newStack.pop();
if (cur.right != null) {
stack.push(cur.right);
newCur.left = new TreeNode(cur.right.val);
newStack.push(newCur.left);
}
if (cur.left != null) {
stack.push(cur.left);
newCur.right = new TreeNode(cur.left.val);
newStack.push(newCur.right);
}
}
return newRoot;
}8. 判断两个二叉树是否互相镜像
递归解法：与比较两棵二叉树是否相同解法一致（题5），非递归解法省略。
- 比较r1的左子树的镜像是不是r2的右子树
- 比较r1的右子树的镜像是不是r2的左子树
/** * 8. 判断两个树是否互相镜像 * @param r1 二叉树 1 * @param r2 二叉树 2 * @return 是否互相镜像 */
public static boolean isMirrorRec(TreeNode r1, TreeNode r2) {
if (r1 == null && r2 == null) {
return true;
} else if (r1 == null || r2 == null) {
return false;
}
if (r1.val != r2.val) {
return false;
}
// 递归比较r1的左子树的镜像是不是r2右子树
// 和r1的右子树的镜像是不是r2的左子树
return isMirrorRec(r1.left, r2.right) && isMirrorRec(r1.right, r2.left);
}9. 求二叉树中两个节点的最低公共祖先节点
递归解法：
- 如果两个节点分别在根节点的左子树和右子树，则返回根节点
- 如果两个节点都在左子树，则递归处理左子树；如果两个节点都在右子树，则递归处理右子树
/** * 9. 求二叉树中两个节点的最低公共祖先节点 * 递归 * @param root 树根节点 * @param n1 第一个节点 * @param n2 第二个节点 * @return 最低公共祖先节点 */
public static TreeNode getLastCommonParentRec(TreeNode root, TreeNode n1, TreeNode n2) {
if (findNodeRec(root.left, n1)) { // 如果n1在左子树
if (findNodeRec(root.right, n2)) { // 如果n2在右子树
return root; // 返回根节点
} else { // 如果n2也在左子树
return getLastCommonParentRec(root.left, n1, n2); // 递归处理
}
} else { // 如果n1在右子树
if (findNodeRec(root.left, n2)) { // 如果n2在左子树
return root; // 返回根节点
} else { // 如果n2在右子树
return getLastCommonParentRec(root.right, n1, n2); // 递归处理
}
}
}
/** * 递归判断一个点是否在树里 * @param root 根节点 * @param node 查找的节点 * @return 是否找到该节点 */
private static boolean findNodeRec(TreeNode root, TreeNode node) {
if (node == null || root == null) {
return false;
}
if (root == node) {
return true;
}
// 先尝试在左子树中查找
boolean found = findNodeRec(root.left, node);
if (!found) { // 如果查找不到，再在右子树中查找
found = findNodeRec(root.right, node);
}
return found;
}
/** * 9. 树中两个节点的最低公共祖先节点 * 递归解法2（更简单） * @param root 树根节点 * @param n1 第一个节点 * @param n2 第二个节点 * @return 最低公共祖先节点 */
public static TreeNode getLastCommonParentRec2(TreeNode root, TreeNode n1, TreeNode n2) {
if (root == null) {
return null;
}
// 如果有一个match，则说明当前node就是要找的最低公共祖先
if (root.equals(n1) || root.equals(n2)) {
return root;
}
TreeNode commonLeft = getLastCommonParentRec2(root.left, n1, n2);
TreeNode commonRight = getLastCommonParentRec2(root.right, n1, n2);
// 如果一个在左子树找到，一个在右子树找到，则说明root是唯一可能得最低公共祖先
if (commonLeft != null && commonRight != null) {
return root;
}
// 其他情况是要不然在左子树要不然在右子树
if (commonLeft != null) {
return commonLeft;
}
return commonRight;
}非递归算法：得到从二叉树根节点到两个节点的路径，路径从头开始的最后一个公共节点就是它们的最低公共祖先节点
/** * 9. 树中两个节点的最低公共祖先节点 * 非递归 * @param root 树根节点 * @param n1 第一个节点 * @param n2 第二个节点 * @return 第一个公共祖先节点 */
public static TreeNode getLastCommonParent(TreeNode root, TreeNode n1, TreeNode n2) {
if (root == null || n1 == null || n2 == null) {
return null;
}
ArrayList<TreeNode> p1 = new ArrayList<>();
boolean res1 = getNodePath(root, n1, p1);
ArrayList<TreeNode> p2 = new ArrayList<>();
boolean res2 = getNodePath(root, n2, p2);
if (!res1 || !res2) {
return null;
}
TreeNode last = null;
Iterator<TreeNode> iter1 = p1.iterator();
Iterator<TreeNode> iter2 = p2.iterator();
while (iter1.hasNext() && iter2.hasNext()) {
TreeNode tmp1 = iter1.next();
TreeNode tmp2 = iter2.next();
if (tmp1 == tmp2) {
last = tmp1;
} else { // 直到遇到非公共节点
break;
}
}
return last;
}
/** * 把从根节点到node路径上所有的点都添加到path中 * @param root 树根节点 * @param node 终点节点 * @param path 路径 * @return 是否是目标节点 */
public static boolean getNodePath(TreeNode root, TreeNode node, ArrayList<TreeNode> path) {
if (root == null) {
return false;
}
path.add(root); // 把这个节点添加到路径中
if (root == node) {
return true;
}
boolean found = false;
found = getNodePath(root.left, node, path); // 先在左子树中找
if (!found) {
found = getNodePath(root.right, node, path);
}
if (!found) { // 如果实在没找到证明这个节点不在路径中，删除刚刚那个节点
path.remove(root);
}
return found;
}10. 判断是否为二分查找树BST
递归解法：中序遍历的结果应该是递增的。
/** * 10. 判断是否为二分查找树BST * @param root 根节点 * @param pre 上一个保存的节点 * @return 是否为BST树 */
public static boolean isValidBST(TreeNode root, int pre){
if (root == null) {
return true;
}
boolean left = isValidBST(root.left, pre);
if (!left) {
return false;
}
if(root.val <= pre) {
return false;
}
pre = root.val;
boolean right = isValidBST(root.right, pre);
if(!right) {
return false;
}
return true;
}
非递归解法：参考非递归中序遍历。
/** * 10. 判断是否为二分查找树BST * 非递归 * @param root 根节点 */
public boolean isValidBST2(TreeNode root){
Stack<TreeNode> stack = new Stack<>();
//设置前驱节点
TreeNode pre = null;
while(root != null || !stack.isEmpty()){
while (root != null) { // 将当前节点，以及左子树一直入栈，循环结束时，root==null
stack.push(root);
root = root.left;
}
root = stack.pop();
//比较并更新前驱，与普通遍历的区别就在下面四行
if(pre != null && root.val <= pre.val){
return false;
}
pre = root;
root = root.right; //访问右子树
}
return true;
}