作者：蔡先生

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算法时间复杂度用来度量算法执行时间的多少，用大O阶表示，即T(n)=O(f(n))，其中n为问题规模，也就是问题的大小。

既然要理解时间复杂度，我们首先理解术语中的两个关键词——“算法”和“时间”，理解了它俩就成功一半了。

首先看“算法”，算法是解决特定问题的方法，在计算机领域里需要将算法用计算机能听懂的语言描述给它听，明白之后它才能使用运算能力解决问题。计算机能听懂的语言，当然是程序代码了(还需编译器将代码翻译成2进制流)，也就是一系列的指令。

再看“时间”，此处的时间指执行算法消耗的时间，也就是计算机执行前面所说的一系列指令的时间。这个时间受

• 计算机执行每条指令的速度->硬件层面
• 编译产生的代码质量->软件层面
• 算法的好坏(算法使用的策略)
• 问题规模

的影响。在给定软硬件环境下，其实就是你在自己电脑上写算法的时候，算法执行时间只受算法本身的好坏和要处理的问题的规模影响。这样就将4个影响因素减少为2个，简化了问题。

既然执行时间受算法好坏和问题规模n的影响，那么执行时间就是它俩的函数。

那这个函数到是啥样的呢？

我们继续分析，给定问题规模n之后，优秀的算法可能哐哐哐执行几次就搞定了，一般的算法可能吭哧吭哧执行很多很多次才搞定；当给定算法时，问题规模n很小时，可能执行几次就搞定，而n很大时，就得执行很多次了。所以算法优劣和问题规模n改变时，执行次数（基本操作数）将改变，所以执行次数就是算法优劣和问题规模n的函数。

到此为止，我们得出一个简单的结论：算法执行时间可以用执行次数表示。

世界丰富多彩，同一个问题有不同的解决办法，比如饿了，可以吃米粉也可以吃包子，可以一个人吃也可以一个人吃(hh)。对应算法领域，同一个问题也可以用不同的算法解决，既然这样，那不同的算法之间肯定有优劣之分，如何评价呢？

最简单的评价方法是把两个算法拉过来比谁解决问题的速度快，谁的执行时间短，谁的执行次数少。

给定算法时，执行次数变为问题规模n的函数。比如一个算法是a，一个算法是b，问题规模为n，那么执行次数分别为Ca=f(n),Cb=g(n)。现在将比较两个算法的执行次数的问题转换为比较两个函数f(n)，g(n)的问题。那比较两个函数的什么性质呢？当然是比较随着问题规模n增大，执行次数的增加情况，也就是f(n)，g(n)的增长情况。好比让两个人吃一百个包子，一个人一小时吃完，一个人一分钟吃完，明显一分钟吃完的那个人能力强，效率高，吃法(算法)更先进(hh)。

要比较两个函数的增长情况，最好的办法是比较函数的一阶导，这样最精确，但是考虑到很多时候只需要大体了解算法的优劣就可以了，所以我们就直接考察对增长速度影响最大的一项，这一项就是函数的最高阶数。为了说明最高阶数对函数增长影响最明显，我们看两幅图。

图中4条曲线分别表示4种不同的执行次数表达式，从图中可以看出，只要最高项的阶数相同，4种表达式值受其他项的影响很小，随着n增大，几乎可以忽略不计，甚至可以忽略与最高项相乘的常数。

既然可以只考虑最高项的阶数，以简化问题，达到估算的目的，为何不这样做呢？

那总得给这种情况一个恰当的表示方式吧？和其他领域一样，还得用符号来表示，这个符号就是大名鼎鼎的大O。

T(n)=O(f(n))

其中，T(n)就是算法的时间复杂度；

f(n)表示执行与算法优劣和问题规模有关的执行数；

O()表示一种运算符号，和+-*/类似。作用就是去除其他项，包括与最高项相乘的常数，只保留最高项，比如f(n)=2n^2+1,O(f(n))=O(n^2)

好了，我们已经推导出了时间复杂度的大O表示，应该对算法时间复杂度有个不错的认识了吧。

最后回顾一下推导过程：

算法执行时间->4种因素影响->去除软硬件因素，考虑算法优劣和问题规模n两种因素->算法执行次数->简化：忽略其他项->大O表示法表示算法时间复杂度