2.9 算法的时间复杂度
2.9.1 算法时间复杂度定义
在进行算法分析时，语句总的执行次数T(n)是关于问题规模n的函数，进而分析T(n)随n的变化情况并确定T(n)的数量级。算法的时间复杂度，也就是算法的时间量度，记作：T(n) = O(f(n))。它表示随问题规模n的增大，算法执行时间的增长率和f(n)的增长率相同，称作算法的渐近时间复杂度，简称为时间复杂度。其中f(n)是问题规模n的某个函数。
这样用大写O()来体现算法时间复杂度的记法，我们称之为大O记法。
一般情况下，随着n的增大，T(n)增长最慢的算法为最优算法。
显然，由此算法时间复杂度的定义可知，我们的三个求和算法的时间复杂度分别为O(n)，O(1)，O(n2)。我们分别给它们取了非官方的名称，O(1)叫常数阶，O(n)叫线性阶，O(n2)叫平方阶，当然，还有其他的一些阶，我们之后会介绍。
2.9.2 推导大O阶方法
那么如何分析一个算法的时间复杂度呢？即如何推导大O阶呢？我们给出了下面的推导方法，基本上，这也就是总结前面我们举的例子
推导大O阶
1.用常数1取代运行时间中的所有加法常数。
2.在修改后的运行次数函数中，只保留最高阶项。
3.如果最高阶项存在且不是1，则去除与这个项相乘的常数。
得到的结果就是大O阶。
哈，仿佛是得到了游戏攻略一样，我们好像已经得到了一个推导算法时间复杂度的万能公式。可事实上，分析一个算法的时间复杂度，没有这么简单，我们还需要多看几个例子。
2.9.3 常数阶
首先顺序结构的时间复杂度。下面这个算法，也就是刚才的第二种算法，为什么时间复杂度不是O(3)，而是O(1)。
int
sum
=
0
,n
=
100
;
/*
执行一次
*/
sum
=
(
1
+
n)
*
n
/
2
;
/*
执行一次
*/
printf(
“
%d
“
, sum);
/*
执行一次
*/
这个算法的运行次数函数是f(n)=3。根据我们推导大O阶的方法，第一步就是把常数项3改为1。在保留最高阶项时发现，它根本没有最高阶项，所以这个算法的时间复杂度为O(1)。
另外，我们试想一下，如果这个算法当中的语句sum=(1+n)*n/2有10句，即：
int
sum
=
0
, n
=
100
;
/*
执行一次
*/
sum
=
(
1
+
n)
*
n
/
2
;
/*
执行第1次
*/
sum
=
(
1
+
n)
*
n
/
2
;
/*
执行第2次
*/
sum
=
(
1
+
n)
*
n
/
2
;
/*
执行第3次
*/
sum
=
(
1
+
n)
*
n
/
2
;
/*
执行第4次
*/
sum
=
(
1
+
n)
*
n
/
2
;
/*
执行第5次
*/
sum
=
(
1
+
n)
*
n
/
2
;
/*
执行第6次
*/
sum
=
(
1
+
n)
*
n
/
2
;
/*
执行第7次
*/
sum
=
(
1
+
n)
*
n
/
2
;
/*
执行第8次
*/
sum
=
(
1
+
n)
*
n
/
2
;
/*
执行第9次
*/
sum
=
(
1
+
n)
*
n
/
2
;
/*
执行第10次
*/
printf(
“
%d
“
,sum);
/*
执行一次
*/
事实上无论n为多少，上面的两段代码就是3次和12次执行的差异，这种与问题的大小无关（n的多少），执行时间恒定的算法，我们称之为具有O(1)的时间复杂度，又叫常数阶。
注意，不管这个常数是多少，我们都记作O(1)，而不能是O(3)、O(12)等其他任何数字。这是初学者常常犯的错误。
对于分支结构而言，无论是真，还是假，执行的次数都是恒定的，不会随着n的变大而发生变化，所以单纯的分支结构（不包含在循环结构中），其时间复杂度也是O(1)。
2.9.4 线性阶
循环结构就会复杂很多。要确定某个算法的阶次，我们常常需要确定某个特定语句或某个语句集运行的次数。因此，我们要分析算法的复杂度，关键就是要分析循环结构的运行情况。
下面这段代码，它的循环的时间复杂度为O(n)。因为循环体中的代码须要执行n次。
int
i;
for
(i
=
0
; i
<
n; i
++
)
{
/*
时间复杂度为O(1)的程序步骤序列
*/
}
2.9.5 对数阶
那么下面的这段代码，时间复杂度又是多少呢？
int
count
=
1
;
while
(count
<
n)
{
count
=
count
*
2
;
/*
时间复杂度为O(1)的程序步骤序列
*/
}
由于每次count乘以2之后，就距离n更近了一分。也就是说，有多少个2相乘后大于n，则会退出循环。由2x=n得到x=log2n。所以这个循环的时间复杂度为O(logn)。
2.9.6 平方阶
下面的例子是一个循环嵌套，它的内循环刚才我们已经分析过，时间复杂度为O(n)。
int
i,j;
for
(i
=
0
; i
<
n; i
++
)
{
for
(j
=
0
; j
<
n;j
++
)
{
/*
时间复杂度为O(1)的程序步骤序列
*/
}
}
而对于外层的循环，不过是内部这个时间复杂度为O(n)的语句，再循环n次。所以这段代码的时间复杂度为O(n2)。
如果外循环的循环次数改为了m，时间复杂度就变为O(m×n)。
int
i,j;
for
(i
=
0
; i
<
m; i
++
)
{
for
(j
=
0
; j
<
n; j
++
)
{
/*
时间复杂度为O(1)的程序步骤序列
*/
}
}
所以我们可以总结得出，循环的时间复杂度等于循环体的复杂度乘以该循环运行的次数。
那么下面这个循环嵌套，它的时间复杂度是多少呢？
int
i,j;
for
(i
=
0
; i
<
n; i
++
)
{
for
(j
=
i; j
<
n; j
++
)
/*
注意int j = i而不是0
*/
{
/*
时间复杂度为O(1)的程序步骤序列
*/
}
}
由于当i = 0时，内循环执行了n次，当i = 1时，执行了n－1次，……当i = n－1时，内循环执行了1次。所以总的执行次数为
用我们推导大O阶的方法，第一条，没有加法常数不予考虑；第二条，只保留最高阶项，因此保留n2/2；第三条，去除这个项相乘的常数，也就是去除1/2，最终这段代码的时间复杂度为O(n2)。
从这个例子，我们也可以得到一个经验，其实理解大O推导不算难，难的是对数列的一些相关运算，这更多的是考察你的数学知识和能力，所以想考研的朋友，要想在求算法时间复杂度这里不失分，可能需要强化你的数学，特别是数列方面的知识和解题能力。
我们继续看例子，对于方法调用的时间复杂度又如何分析。
int
i,j;
for
(i
=
0
; i
<
n; i
++
)
{
function(i);
}
上面这段代码调用一个函数function。
void
function(
int
count)
{
print(count);
}
函数体是打印这个参数。其实这很好理解，function函数的时间复杂度是O(1)。所以整体的时间复杂度为O(n)。
假如function是下面这样的：
void
function(
int
count)
{
int
j;
for
(j
=
count; j
<
n;j
++
)
{
/*
时间复杂度为O(1)的程序步骤序列
*/
}
}
事实上，这和刚才举的例子是一样的，只不过把嵌套内循环放到了函数中，所以最终的时间复杂度为O(n2)。
下面这段相对复杂的语句：
n
++
;
/*
执行次数为1
*/
function(n);
/*
执行次数为n
*/
int
i,j;
for
(i
=
0
; i
<
n; i
++
)
/*
执行次数为n2
*/
{
function (i);
}
for
(i
=
0
; i
<
n; i
++
)
/*
执行次数为n(n + 1)/2
*/
{
for
(j
=
i;j
<
n; j
++
)
{
/*
时间复杂度为O(1)的程序步骤序列
*/
}
}
它的执行次数
，根据推导大O阶的方法，最终这段代码的时间复杂度也是O(n
2)。
