1、假设淘宝一天有5亿条成交数据，求出销量最高的100个商品并给出算法的时间复杂度。
先用哈希，统计每个商品的成交次数，然后再用在N个数中找出前K大个数的方法找出成交次数最多的前100个商品。
优化方法：
可以把5亿个数据分组存放，比如放在5000个文件中。这样就可以分别在每个文件的10^6个数据中，用哈希+堆统计每个区域内前100个频率最高的商品，最后求出所有记录中出现频率最高的前100个商品。
2、有10亿个杂乱无章的数，怎样最快地求出其中前1000大的数。
方法一： 建一个1000个数的最小堆，然后依次添加剩余元素，如果大于堆顶的数（堆中最小的），将这个数替换堆顶，并调整结构使之仍然是一个最小堆，这样，遍历完后，堆中的1000个数就是所需的最大的1000个。算法的时间复杂度为O（nlogk）=n*log1000=10n（n为10亿，k为1000）。
优化的方法：分治法。可以把所有10亿个数据分组存放，比如分别放在1000个文件中。这样处理就可以分别在每个文件的10^6个数据中找出最大的10000个数，合并到一起再找出最终的结果。
优化的方法：如果这10亿个数里面有很多重复的数，先通过Hash法，把这10亿个数字去重复，这样如果重复率很高的话，会减少很大的内存用量，从而缩小运算空间，然后通过分治法或最小堆法查找最大的1000个数。
方法二：
1.用每一个BIT标识一个整数的存在与否，这样一个字节可以标识8个整数的存在与否，对于所有32位的整数，需要512Mb，所以开辟一个512Mb的字符数组A，初始全0
2.依次读取每个数n，对于数n，n存放在A[N>>3]中的某个bit，因此，将A[n>>3]设置为A[n>>3]|(1<<(n%8))(这里是1左移几位),相当于将每个数的对应位设置为1
3.在A中，从数组尾开始向前遍历，从大到小读取1000个值为1的数，就是最大的1000个数了。
这样读文件就只需要1遍，在不考虑内存开销的情况下，应该是速度最快的方法了。
2、给一列无序数组，求出中位数并给出算法的时间复杂度。
若数组有奇数个元素，中位数是a[(n-1)/2]；若数组有偶数个元素，中位数为a[n/2-1]和a[n/2]两个数的平均值。这里为方便起见，假设数组为奇数个元素。
思路一：把无序数组排好序，取出中间的元素。时间复杂度取决于排序算法，最快是快速排序，O(nlogn)，或者是非比较的基数排序，时间为O(n),空间为O(n)。这明显不是我们想要的。
思路二：采用快速排序的分治partition过程。任意挑一个元素，以该元素为支点，将数组分成两部分，左边是小于等于支点的，右边是大于支点的。如果左侧长度正好是(n－1)／2，那么支点恰为中位数。如果左侧长度<(n-1)/2, 那么中位数在右侧，反之，中位数在左侧。 进入相应的一侧继续寻找中位数。
//快速排序的分治过程找无序数组的中位数
int partition(int a[], int low, int high) //快排的一次排序过程
{
int q = a[low];
while (low < high)
{
while (low < high && a[high] >= q)
high--;
a[low] = a[high];
while (low < high && a[low] <= q)
low++;
a[high] = a[low];
}
a[low] = q;
return low;
}
int findMidium(int a[], int n)
{
int index = n / 2;
int left = 0;
int right = n - 1;
int q = -1;
while (index != q)
{
q = partition(a, left, right);
if (q < index)
left = q + 1;
else if (q>index)
right = q - 1;
}
return a[index];
}思路三：将数组的前（n+1）／2个元素建立一个最小堆。然后，对于下一个元素，和堆顶的元素比较，如果小于等于，丢弃之，如果大于，则用该元素取代堆顶，再调整堆，接着看下一个元素。重复这个步骤，直到数组为空。当数组都遍历完了，（堆中元素为最大的（n+1）／2个元素，）堆顶的元素即是中位数。
//构建最小堆找无序数组的中位数
void nswap(int& i, int& j)
{
i = i^j;
j = i^j;
i = i^j;
}
void minHeapify(int a[], int i, int len)
{
int temp;
int least = i;
int l = i * 2 + 1;
int r = i * 2 + 2;
if (l < len && a[l] < a[least])
least = l;
if (r < len && a[r] < a[least])
least = r;
if (least != i)
{
nswap(a[i], a[least]);
minHeapify(a, least, len);
}
}
void buildMinHeap(int a[], int len)
{
for (int i = (len-2) / 2; i >= 0; i--)
{
minHeapify(a, i, len);
}
}
int findMidium2(int a[], int n)
{
buildMinHeap(a, (n + 1) / 2);
for (int i = (n + 1) / 2; i < n; i++)
{
if (a[i] > a[0])
{
nswap(a[i], a[0]);
minHeapify(a, 0,(n + 1) / 2);
}
}
return a[0];
} 引申一：
查找N个元素中的第K个小的元素
编程珠玑给出了一个时间复杂度O（N）的解决方案。该方案改编自快速排序。
经过快排的一次划分，
1）如果左半部份的长度>K-1，那么这个元素就肯定在左半部份了
2）如果左半部份的长度==K-1，那么当前划分元素就是结果了。
3）如果。。。。。。。<K-1,那么这个元素就肯定在右半部分了。
并且，该方法可以用尾递归实现。效率更高。
也可以用来查找N个元素中的前K个小的元素，前K个大的元素。。。。等等。
引申二：
查找N个元素中的第K个小的元素，假设内存受限，仅能容下K/4个元素。
分趟查找，
第一趟，用堆方法查找最小的K/4个小的元素，同时记录剩下的N-K/4个元素到外部文件。
第二趟，用堆方法从第一趟筛选出的N-K/4个元素中查找K/4个小的元素，同时记录剩下的N-K/2个元素到外部文件。
。。。
第四趟，用堆方法从第一趟筛选出的N-K/3个元素中查找K/4个小的元素，这是的第K/4小的元素即使所求。
3、输入一个整型数组，求出子数组和的最大值，并给出算法的时间复杂度。
设b[i]表示a[0…i]的子数组和的最大值，且b[i]一定包含a[i]，即：
sum为子问题的最优解，
1. 包含a[i],即求b[i]的最大值，在计算b[i]时,可以考虑以下两种情况,因为a[i]要求一定包含在内，所以
1) 当b[i-1]>0, b[i] = b[i-1]+a[i]
2) 当b[i-1]<=0, b[i] = a[i], 当b[i-1]<=0，这时候以a[i]重新作为b[i]的起点。
2. 不包含a[i],即a[0]~a[i-1]的最大值（即0~i-1局部问题的最优解),设为sum
最后比较b[i]和 sum，即,如果b[i] >sum ,即b[i]为最优解,然后更新sum的值.
在实现时，bMax代表 b[k], sum更新前代表前一步子问题的最优解，更新后代表当前问题的最优解。实现如下：
//求数组的子数组和的最大值，时间复杂度为O(n)
int maxSumArr(int a[], int n,int* start, int* end)
{
int s, e;
int sum = a[0];
int bMax=a[0];
*start = *end = 0;
for (int i = 1; i < n; i++)
{
if (bMax > 0) //情况一，子数组包含a[i]，且b[i-1]>0（上一次的最优解大于0），b[i] = b[i-1]+a[i]
{
bMax += a[i];
e = i;
}
else //情况二，子数组包含a[i]，且b[i-1]<=0（上一次的最优解小于0），这时候以a[i]重新作为b[i]的起点。
{
bMax = a[i];
s = i;
e = i;
} //情况三，子数组不包含a[i],即b[i]=sum
if (bMax > sum) //三种情况相比较，最大值作为更新后的最优解，存在sum
{
sum = bMax;
*start = s;
*end = e;
}
}
return sum;
}引申：求子数组和的最小值
同理。
//求数组的子数组和的最小值，时间复杂度为O(n)
int minSumArr(int a[], int n, int* start, int* end)
{
int s, e;
int bMin = a[0];
int sum = a[0];
*start = *end = 0;
for (int i = 0; i < n; i++)
{
if (bMin < 0) //情况一，子数组包含a[i]， 且b[i-1]<0，b[i] = b[i-1]+a[i]
{
bMin += a[i];
e = i;
}
else //情况二，子数组包含a[i]，且b[i-1] > 0，这时候以a[i]重新作为b[i]的起点
{
bMin = a[i];
s = e = i;
} //情况三，子数组不包含a[i],即b[i]=sum
if (bMin < sum) //三种情况相比较，最小值作为更新后的最优解，存在sum
{
sum = bMin;
*start = s;
*end = e;
}
}
return sum;
}4、给出10W条人和人之间的朋友关系，求出这些朋友关系中有多少个朋友圈（如A-B、B-C、D-E、E-F，这4对关系中存在两个朋友圈），并给出算法的时间复杂度。
//朋友圈-并查集
int set[10001];
int find(int x)
{
int i, j, r;
r = x;
while (set[r] != r) //寻找此集合的代表
r = set[r];
i = x;
while (i != r) //使得r代表的集合中，所有结点直接指向r，即路径压缩
{
j = set[i];
set[i] = r;
i = j;
}
return r;
}
void merge(int x, int y)
{
int t = find(x);
int h = find(y);
if (t < h)
set[h] = t;
else
set[t] = h;
}
int friends(int n, int m, int (*r)[2]) //n个人，m对好友关系，存放在二维数组r[m][2]中
{
int i, count;
for (i = 1; i <= n; i++)
set[i] = i;
for (i = 0; i < m; i++)
merge(r[i][0], r[i][1]);
count = 0;
for (i = 1; i <= n; i++)
{
if (set[i] == i)
count++;
}
return count;
}5、如图所示的数字三角形，从顶部出发，在每一结点可以选择向左走或得向右走，一直走到底层，要求找出一条路径，使路径上的值的和最大。给出算法的时间复杂度。
定义状态为：dp[i][j]表示，从第i行第j个数字到最后一行的某个数字的权值最大的和。那么我们最后只需要输出dp[1][1]就是答案了.
状态转移方程为：dp[i][j] += max( dp[i+1][j+1],dp[i+1][j] );好了， 从第n-1行往上面倒退就好了。
6、有一个很长二进制串，求出除以3的余数是多少，给出算法的时间复杂度。
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