拓扑排序（topological sorting）时间复杂度

2023年4月5日 874次阅读 来源: 算法小白

AOV网络

  在有向图中，用顶点表示活动，用有向边<Vi, Vj>表示活动Vi必须先于活动Vj进行。这种有向图叫作顶底表示活动的网络(Active on vertices)，记作AOV网络。 
  在AOV网络中，如果活动Vi必须在Vj之前进行，则存在有向边<Vi, Vj>，并称Vi是Vj的直接前驱，Vj是Vi的直接后继。这种前驱与后继的关系具有传递性和反自反性，这要求AOV网络中不能出现回路，即有向环。因此，对于给定的AOV网络，必须先判断它是否存在有向环。

拓扑排序

  检测有向环可以通过对AOV网络构造它的拓扑有序序列(即进行拓扑排序，topological sorting)。该过程将各个顶点排列成一个线性有序的序列，使得AOV网络中所有的前驱和后继关系都能得到满足。 
  如果拓扑排序能够将AOV网络的所有顶点都排入一个拓扑有序的序列中，则说明该AOV网络中没有有向环，否则AOV网络中必然存在有向环。AOV网络的顶点的拓扑有序序列不唯一。

拓扑排序算法的伪代码

  1. 栈S初始化；累加器count初始化；
  2. 扫描顶点表，将没有前驱（即入度为0）的顶点压栈；
  3. 当栈S非空时循环 
    3.1 vj=退出栈顶元素；输出vj；累加器加1； 
    3.2 将顶点vj的各个邻接点的入度减1； 
    3.3 将新的入度为0的顶点入栈；
  4. if (count<vertexNum) 输出有回路信息；

利用顶点的入度数组建立栈S

  为了建立栈S，可以不另外分配存储空间，直接利用入度数组inDegree[]中为零的元素，同时设立一个栈顶指针top，指示当前栈顶的位置，即某一个入度为零的顶点位置。栈初始化时置top=-1，表示空栈。

  1. 将顶点w进栈时(此时w的入度为0, 不再需要inDegree[w])： 
    count[w] = top; top = w;
  2. 退栈时: 
    v = top; top = inDegree[top]

算法复杂度

  如果AOV网络有n个顶点，e条边，在拓扑排序的过程中，搜索入度为零的顶点所需的时间是O(n)。在正常情况下，每个顶点进一次栈，出一次栈，所需时间O(n)。每个顶点入度减1的运算共执行了e次。所以总的时间复杂为O(n+e)。

    原文作者：算法小白
    原文地址: https://www.cnblogs.com/liuyu124/p/7332529.html
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