题目
给定一个矩阵m,从左上角开始每次只能向右或者向下走,最后到达右下角的位置,路径上所有的数字累加起来就是路径和,返回所有路径中最小的路径和。
例子:
给定m如下:
1 3 5 9
8 1 3 4
5 0 6 1
8 8 4 0
路径1,3,1,0,6,1,0是所有路径中路径和最小的,所以返回12。
解法1
思路:
使用动态规划,定义 dp[M][N] , M ,N 分别代表矩阵的行和列数 dp[i][j] 表示从左上角到矩阵(i,j)位置是的最短路径和。则可知 到(i,j)位置有两种情况:1)由(i-1,j)向下走,2)由(i,j-1)向右走,所以dp[i][j]=Math.min(dp[i-1][j],dp[i][j-1])+m[i][j];对于dp[0][j] 只能由 dp[0][j-1] 向右走,dp[i][0] 只能由 dp[i-1][0] 向下走。所以 dp[0][j]=dp[0][j-1]+m[0][j], dp[i][0]=dp[i-1][0]+m[i][0].
代码:
public static int shortestRoad(int arr[][])
{
int dp[][]=new int [arr.length][arr[0].length];
dp[0][0]=arr[0][0];
for(int i=1;i<arr.length;i++)
{
dp[i][0]=dp[i-1][0]+arr[i][0];
//第一列只能由上向下
}
for(int j=1;j<arr[0].length;j++)
{
dp[0][j]=dp[0][j-1]+arr[0][j];
//第一行只能由左向右
}
for(int i=1;i<arr.length;i++)
for(int j=1;j<arr[0].length;j++)
{
dp[i][j]=Math.min(dp[i-1][j], dp[i][j-1])+arr[i][j];
}
return dp[arr.length-1][arr[0].length-1];
}
解法2(优化解法1)
思路:
解法1中使用dp数组的空间大小为M*N,其实可以对dp数组的空间压缩至N,定义大小为N的dp数组,对于第一行,dp[i]=dp[i-1]+m[0][i],在求第二行中的 dp[i] 时可以覆盖第一行 dp[i] ,第二行dp[i]=Math.min(dp[i],dp[i-1])+m[i][j]。
代码
public static int shortestRoad1(int arr[][])
{
int dp[]=new int[arr[0].length];
dp[0]=arr[0][0];
for(int j=1;j<arr[0].length;j++)
{
dp[j]=dp[j-1]+arr[0][j];
//求出第一行的dp
}
for(int i=1;i<arr.length;i++)
{
dp[0]=arr[i][0]+dp[0];
//dp[0]代表每一行最左边的dp,
//后一行的dp覆盖前一行的dp
for(int j=1;j<arr[0].length;j++)
{
dp[j]=Math.min(dp[j-1]+arr[i][j], dp[j]+arr[i][j]);
}
}
return dp[arr[0].length-1];
}