算法的时间复杂度(大O表示法)

定义:如果一个问题的规模是n,解这一问题的某一算法所需要的时间为T(n),它是n的某一函数 T(n)称为这一算法的“时间复杂性”。

当输入量n逐渐加大时,时间复杂性的极限情形称为算法的“渐近时间复杂性”。

我们常用大O表示法表示时间复杂性,注意它是某一个算法的时间复杂性。大O表示只是说有上界,由定义如果f(n)=O(n),那显然成立f(n)=O(n^2),它给你一个上界,但并不是上确界,但人们在表示的时候一般都习惯表示前者。

此外,一个问题本身也有它的复杂性,如果某个算法的复杂性到达了这个问题复杂性的下界,那就称这样的算法是最佳算法。

“大O记法”:在这种描述中使用的基本参数是 n,即问题实例的规模,把复杂性或运行时间表达为n的函数。这里的“O”表示量级 (order),比如说“二分检索是 O(logn)的”,也就是说它需要“通过logn量级的步骤去检索一个规模为n的数组”记法 O ( f(n) )表示当 n增大时,运行时间至多将以正比于 f(n)的速度增长。

这种渐进估计对算法的理论分析和大致比较是非常有价值的,但在实践中细节也可能造成差异。例如,一个低附加代价的O(n2)算法在n较小的情况下可能比一个高附加代价的 O(nlogn)算法运行得更快。当然,随着n足够大以后,具有较慢上升函数的算法必然工作得更快。 

 

O(1)

 Temp=i;i=j;j=temp;                    

 

以上三条单个语句的频度均为1,该程序段的执行时间是一个与问 题规模n无关的常数。算法的时间复杂度为常数阶,记作T(n)=O(1)。如果算法的执行时 间不随着问题规模n的增加而增长,即使算法中有上千条语句,其执行时间也不过是一个较大的常数。此类算法的时间复杂度是O(1)。

O(n^2)

2.1. 交换i和j的内容

    sum=0;                (一次)

    for(i=1;i<=n;i++)      (n次 )

       for(j=1;j<=n;j++) (n^2次 )

         sum++;       (n^2次 )

解:T(n)=2n^2+n+1 =O(n^2)

 

2.2.   

   for (i=1;i<n;i++)

   { 

       y=y+1;        ①   

       for (j=0;j<=(2*n);j++)    

          x++;        ②      

   }         

解:  语句1的频度是n-1

         语句2的频度是(n-1)*(2n+1)=2n^2-n-1

         f(n)=2n^2-n-1+(n-1)=2n^2-2

         该程序的时间复杂度T(n)=O(n^2).         

O(n)      

                                                      

2.3. 

   a=0;

   b=1;                     ①

   for (i=1;i<=n;i++) ②

   {  

      s=a+b;    ③

      b=a;     ④  

      a=s;     ⑤

   }

解:  语句1的频度:2,        

          语句2的频度: n,        

         语句3的频度: n-1,        

         语句4的频度:n-1,    

         语句5的频度:n-1,                                  

         T(n)=2+n+3(n-1)=4n-1=O(n).

                                                                                                 

O(log2n )

2.4. 

    i=1;       ①

   while (i<=n)

      i=i*2; ②

解: 语句1的频度是1,  

         设语句2的频度是f(n),  则:2^f(n)<=n;f(n)<=log2n    

         取最大值f(n)= log2n,

         T(n)=O(log2n )

 

 O(n^3)

2.5. 

   for(i=0;i<n;i++)

   {  

      for(j=0;j<i;j++)  

      {

         for(k=0;k<j;k++)

            x=x+2;  

      }

   }

解:当i=m, j=k的时候,内层循环的次数为k当i=m时, j 可以取 0,1,…,m-1 ,  所以这里最内循环共进行了0+1+…+m-1=(m-1)m/2次所以,i从0取到n, 则循环共进行了: 0+(1-1)*1/2+…+(n-1)n/2=n(n+1)(n-1)/6所以时间复杂度为O(n^3).

                                  

 

我们还应该区分算法的最坏情况的行为和期望行为。如快速排序的 最 坏情况运行时间是 O(n^2),但期望时间是 O(nlogn)。通过每次都仔细 地选择基准值,我们有可能把平方情况 (即O(n^2)情况)的概率减小到几乎等于 0。在实际中,精心实现的快速排序一般都能以 (O(nlogn)时间运行。

访问数组中的元素是常数时间操作,或说O(1)操作。一个算法 如 果能在每个步骤去掉一半数据元素,如二分检索,通常它就取 O(logn)时间。用strcmp比较两个具有n个字符的串需要O(n)时间 。常规的矩阵乘算法是O(n^3),因为算出每个元素都需要将n对 元素相乘并加到一起,所有元素的个数是n^2。

指数时间算法通常来源于需要求出所有可能结果。例如,n个元 素的集合共有2n个子集,所以要求出所有子集的算法将是O(2n)的 。指数算法一般说来是太复杂了,除非n的值非常小,因为,在 这个问题中增加一个元素就导致运行时间加倍。不幸的是,确实有许多问题 (如著名 的“巡回售货员问题” ),到目前为止找到的算法都是指数的。如果我们真的遇到这种情况, 通常应该用寻找近似最佳结果的算法替代之。

    原文作者:王 庆
    原文地址: https://www.cnblogs.com/zhishan/p/3217709.html
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