一个字符串的子串是字符串中连续的一个序列，而一个字符串的子序列是字符串中保持相对位置的字符序列，譬如，”adi”可以使字符串”abcdefghi”的子序列但不是子串。这也就决定了在解这两种”LCS”问题上的一些区别。
Longest-Common-Substring和Longest-Common-Subsequence是不一样的。
动态规划DP
通过把原问题分解为相对简单的子问题的方式求解复杂问题的方法。
动态规划常常适用于有[重叠子问题]和[最优子结构]性质的问题，动态规划方法所耗时间往往远少于朴素解法。
动态规划背后的基本思想非常简单。大致上，若要解一个给定问题，我们需要解其不同部分（即子问题），再合并子问题的解以得出原问题的解。
通常许多子问题非常相似，为此动态规划法试图仅仅解决每个子问题一次，从而减少计算量：一旦某个给定子问题的解已经算出，则将其[记忆化]存储，以便下次需要同一个子问题解之时直接查表。这种做法在重复子问题的数目关于输入的规模呈[指数增长]时特别有用。
DP问题有几个典型应用：
解整数背包问题： 设有n件物品，每件价值记为Pi，每件体积记为Vi，用一个最大容积为Vmax的背包，求装入物品的最大价值。 用一个数组f[i,j]表示取i件商品填充一个容积为j的背包的最大价值，显然问题的解就是f[n,Vmax].
f[i,j]=
f[i-1,j] {j<Vi}
max{f[i-1,j],f[i,j-Vi]+Pi} {j>=Vi}
0 {i=0 OR j=0}
对于特例01背包问题（即每件物品最多放1件，否则不放入）的问题，状态转移方程：
f[i,j]=
f[i-1,j] {j<Vi}
max{f[i-1,j],f[i-1,j-Vi]+Pi} {j>=Vi}
0 {i=0 OR j=0}
WIKI上举的第一个例子是Fibonacci数列，普通的递归求法会重复计算很多次前面的值因而效率很低，所以我们可以从低位算起。这样就可以利用前面的值。
到目前为止我对DP的理解就是，每一步的结果都与上一步有关。
LCS（longest common subsequence）
我们有两个字符串，现在求两个字符串的最长公共子序列（注：这里的要求不包括字符必须连续）
例：abdhgf和dadchgm的LCS就是adhg
这种问题确实不好做，一般的思路解决太复杂了。如果用遍历的方式，不想等的时候往前移动，相等的话，看后面的是否相等，后面的一个也存在之前的情况。。
但是我们也可以假设我们已经有一段字符串满足相同的子序列了，那么我们关心当前的这一个就可以了。
我们假设两个字符串的长度为m，n；LCS的长度为k；并且假设LCS里面的所有字符都是满足条件的
并且假设前k个都满足情况了，我们讨论第k个：
设Xm={x0,x1,…xm-1}和Yn={y0,y1,…,yn-1}为两个字符串，而Zk={z0,z1,…zk-1}是它们的LCS，则：
- 如果xm-1=yn-1，那么zk-1=xm-1=yn-1，并且Zk-1是Xm-1和Yn-1的LCS；
- 如果xm-1≠yn-1，那么当zk-1≠xm-1时Z是Xm-1和Y的LCS；
- 如果xm-1≠yn-1，那么当zk-1≠yn-1时Z是Yn-1和X的LCS
注：这个关系大家多想一想，是最重要的部分。
如果觉得上面的文字有干扰的话，可以自己去理解。
上面的关系式实际上是逆推，即我们假设已经有了LCS，我们去找LCS在两个字符串里面的位置。
- 我觉得很重要的一点就是，我们只关心这一步（和上一步的关系），至于上一步也不满足的话，那就是递归的事情了。这样想能简化思路！
**性质大家可以反证法证明一下，如果不能理解，可以举个例子试一下，LCS里面的字符肯定会出现在x，y里面，如果x，y的最后面是无关的字符，后面的两个条件就可以逐步把无关的删除掉；
其实后面两个条件就是去掉无关字符的过程，讨论的都是当x！=y的情况。
**
由上面的三种情况：
我们可以得出如下的思路：求两字符串Xm={x0, x1,…xm-1}和Yn={y0,y1,…,yn-1}的LCS，
- 如果xm-1=yn-1， 那么只需求得Xm-1和Yn-1的LCS， 并在其后添加xm-1（ yn-1） 即可；
- 如果xm-1≠yn-1， 我们分别求得Xm-1和Y的LCS和Yn-1和X的LCS，并且这两个LCS中较长的一个为X和Y的LCS
这就是DP的特点吧，每一步的情况都有两种（多种），你看着办吧。
如果我们记字符串Xi和Yj的LCS的长度为c[i,j]，我们可以递归地求c[i,j]：
0, if i<0 or j<0
c[i-1,j-1]+1 ,if i,j>=0 and xi=xj
max(c[i,j-1],c[i-1,j] if i,j>=0 and xi≠xj
根据这个思路，我们创建一个矩阵lcs_length来记录对应的i，j的值，之所以这样是为了避免类似于Fibonacci里面的重复求值的问题，以及方便输出。
在下面的代码里面，还创建了一个lcs_dir的矩阵，这个也是为了保存每一次值的来源，方便我们打印的时候知道取哪个值。
- 这个程序的主干部分是这样的：
矩阵的横列是str2，竖列是str1
结合上面的实例，我们得到的矩阵是这样的：
str| a |b|d|h|g|f
—-|——|—-|—|—-|
d | 0|0|1|0|0|0
a | 1|1 |1 |1 |1 | 1
d |1| 1|2 |2 |2 |2
c|0| 1| 2|2 |2 |2
h|0| 1|2 |3 | 3|3
g| 0| 1| 2| 3| 4|4
下面是代码：
//c[i,k]=
// 0, if i<0 or j<0
// c[i - 1, j - 1] + 1, if i, j >= 0 and xi = xj
// max(c[i, j - 1], c[i - 1, j] if i, j >= 0 and xi≠xj
#include <iostream>
enum dir {kinit=0,kup,kleftup,kleft};//c[i,j] comes from 3 directions
//we have a matrix holding value,another holding the direction
int lcs(char* str1,char* str2)
{
if (!str1 || !str2)
return;
int len1 = strlen(str1);
int len2 = strlen(str2);
if (!len1 || !len2)
return 0;
unsigned int i, j;
int** lcs_len = (int**)(new int[len1]);
for (i = 0; i < len1; i++)
lcs_len[i] = (int*)new int[len2];
for (i = 0; i < len1; i++)
for (j = 0; j < len2; j++)
lcs_len[i][j] = 0;
int** lcs_dir = (int**)(new int[len1]);
for (i = 0; i < len1; i++)
lcs_dir[i] = (int*)new int[len2];
for (i = 0; i < len1; i++)
for (j = 0; j < len2; j++)
lcs_dir[i][j] =kinit ;
//core: detect every unit
for (i = 0; i < len1; i++)
for (j = 0; j < len2; j++)
{
if (i == 0 || j == 0)//the begin of common string
{
if (str1[i] == str2[j])
{
lcs_len[i][j] = 1;
lcs_dir[i][j] = kleftup;
}
else
lcs_len[i][j] = 0;
}
else if (str1[i] == str2[j])
{
lcs_len[i][j] = lcs_len[i - 1][j - 1] + 1;//case 1
lcs_dir[i][j] = kleftup;
}
else if (lcs_len[i - 1][j] > lcs_len[i][j - 1])
{
lcs_len[i][j] = lcs_len[i - 1][j] ;
lcs_dir[i][j] = kup;
}
else
{
lcs_len[i][j] = lcs_len[i][j-1] ;
lcs_dir[i][j] = kleft;
}
}
return lcs_len[len1 - 1][len2 - 1];
}
然后我们根据得到的矩阵打印：
只需要打印方向矩阵里面，方向标识为leftup的字符，其它的根据方向标识来移动。
既然这样的话，我们可以用递归的方式打印，简化代码量：
//only lcs_dir=kleftup are to be printed
void print_path(int**lcs_dir, char* str1, char* str2, size_t row, size_t col)
{
if (!str1 || !str2)
return;
size_t len1 = strlen(str1);
size_t len2 = strlen(str2);
if (len1 == 0 || len2 == 0 || !(row < len1&&col < len2))
return;
if (lcs_dir[row][col] == kleftup)
{
if (row > 0 && col > 0)
print_path(lcs_dir, str1, str2, row - 1, col - 1);
std::cout << str1[row];
}
if (lcs_dir[row][col]==kleft)
print_path(lcs_dir, str1, str2, row , col - 1);
if (lcs_dir[row][col] == kup)
print_path(lcs_dir, str1, str2, row-1, col );
}
测试了一下没问题的。
总结一下吧，关于动态规划这个概念大家不要太纠结，其实重心在于如何找出规律!
