题目：一个二维数组,二维数组中的每个数都是正数,要求从左上角走到右下角,每一步只能向右或者向下，沿途经过的数字要累加起来,返回最小路径和.

就题目举个例子：给定二维矩阵arr如下:

  1，2，3，4
  2，5，6，7
  2，3，4，5

该二维矩阵的最小路径为：1，2，2，3，4，5，最小路径和为：17。

思路一：暴力递归

处于位置（i，j）时，只能向右或者向下走，于是想到递归解决，代码具体含义见注释，代码如下：

/**
     * 题目: 一个二维数组,二维数组中的每个数都是正数,要求从左上角走到右下角,每一步只能向右或者向下.
     * 沿途经过的数字要累加起来,返回最小路径和.
     */
    public static int findMinPath(int[][] arr) {
        /**
         * 暴力递归
         */
        return process(arr, 0, 0);
    }


    public static int process(int[][]arr, int i, int j) {
        /**
         * process返回从第(i,j)个位置到右下角时最短路径
         */
        //baseCase (i,j)为右下角
        if(i==arr.length-1&&j==arr[0].length-1) return arr[i][j];
        //到达最后一行时
        else if(i==arr.length-1) return arr[i][j] + process(arr, i, j+1);
        //到达最后一列时
        else if(j==arr.length-1) return arr[i][j] + process(arr, i+1, j);
        //普通位置
        else return arr[i][j] + Math.min(process(arr, i+1, j), process(arr, i, j+1));

    }

思路二：记忆化搜索

暴力递归不记录每一个子问题的解，每次需要用到的时候再次递归，时间复杂度很高，于是，我们想把子问题的解记录下来，避免重复计算，举个例子，假如二维矩阵arr如下：

a，b，c
d，e，f
g，h，i

暴力递归如下图所示（画图软件不咋会呢，拍了照片，哈哈），其中，有很多重复计算，比如画圈的地方。

491548599911_.pic副本.jpg

因此，在返回递归结果前，先记录到哈希表，相应的，下次递归之前，先查表，代码如下：

static Map<String, Integer> cache = new HashMap<>();
    public static int findMinPath1(int[][] arr) {
        /**
         * 记忆化搜索:在暴力递归的基础上加一个缓存机制,递归之前先查哈希表,免去不必要的递归
         */
        return process1(arr, 0, 0);

    }

    private static int process1(int[][] arr, int i, int j) {
        //baseCase,
        int res = 0;
        if (i==arr.length-1&& j==arr[0].length-1) {
            res = arr[i][j];
        }
        //(i,j)为最后一行的点
        else if(i==arr.length-1) {
            if(cache.containsKey(i+","+(j+1))) {
                res = arr[i][j] + cache.get(i+","+(j+1));
            }
            else res = arr[i][j] + process1(arr, i, j+1);
        }
        //(i,j)为最后一列的点
        else if(j==arr[0].length-1) {
            if(cache.containsKey((i+1)+","+j)) {
                res = arr[i][j] + cache.get((i+1)+","+j);
            }
            else res = arr[i][j] + process1(arr, i+1, j);
        }
        //普通位置
        else {
            int down = 0;
            int right = 0;
            if(cache.containsKey((i+1)+","+j)) down = cache.get((i+1)+","+j);
            else down = process1(arr,i+1,j);
            if (cache.containsKey(i+","+(j+1))) right = cache.get(i+","+(j+1));
            else right = process1(arr,i,j+1);
            res = arr[i][j] + Math.min(down, right);
        }
        cache.put(i+","+j,res);
        return res;

    }

思路三：动态规划

根据暴力递归函数，返回值依赖于i和j两个变量，而0=<i<N，0=<j<M，所以，所有返回值即是一张二维表dp，
1、根据basecase，dp[N-1][M-1]=arr[N-1][M-1]；
2、根据递归函数可以求出dp表的最后一行和最后一列；
3、有了2中的值后，dp表中其他位置从右往左、从下往上依次计算即可。
代码如下：

public static int findMinPath2(int[][]arr) {
        /**
         * 由递归优化成动态规划
         */
        int row = arr.length;
        int col = arr[0].length;
        int[][] dp = new int[row][col];
        dp[row-1][col-1] = arr[row-1][col-1];
        //计算dp最后一行的值
        for (int j=col-2;j>=0;j--) {
            dp[row-1][j] = dp[row-1][j+1]+ arr[row-1][j];
        }
        //计算dp最后一列的值
        for(int i=row-2;i>=0;i--) {
            dp[i][col-1] = arr[i][col-1] + dp[i+1][col-1];
        }
        //计算其他位置的值
        for(int i=row-2;i>=0;i--) {
            for(int j=col-2;j>=0;j--) {
                dp[i][j] = arr[i][j] + Math.min(dp[i+1][j],dp[i][j+1]);
            }
        }
        return dp[0][0];

    }