来源：http://blog.csdn.net/hrn1216/article/details/51534607
写得特别好！
最长公共子序列：
一个给定的序列的子序列，就是将给定序列中零个或多个元素去掉之后得到的结果，即可以不连续。
最长公共子串：
给定串中任意个连续的字符组成的子序列称为该串的子串。
子序列和子串
动态规划
求解LCS问题，不能使用暴力搜索方法。一个长度为n的序列拥有 2的n次方个子序列，它的时间复杂度是指数阶，太恐怖了。解决LCS问题，需要借助动态规划的思想。
动态规划算法通常用于求解具有某种最优性质的问题。
在这类问题中，可能会有许多可行解。每一个解都对应于一个值，我们希望找到具有最优值的解。
动态规划算法与分治法类似，其基本思想也是将待求解问题分解成若干个子问题，先求解子问题，然后从这些子问题的解得到原问题的解。
与分治法不同的是，适合于用动态规划求解的问题，经分解得到子问题往往不是互相独立的。
若用分治法来解这类问题，则分解得到的子问题数目太多，有些子问题被重复计算了很多次。
如果我们能够保存已解决的子问题的答案，而在需要时再找出已求得的答案，这样就可以避免大量的重复计算，节省时间。
我们可以用一个表来记录所有已解的子问题的答案。不管该子问题以后是否被用到，只要它被计算过，就将其结果填入表中。这就是动态规划法的基本思路。
特征分析
解决LCS问题，需要把原问题分解成若干个子问题，所以需要刻画LCS的特征。
设A=“a0，a1，…，am”，B=“b0，b1，…，bn”，且Z=“z0，z1，…，zk”为它们的最长公共子序列。不难证明有以下性质：
如果am=bn，则zk=am=bn，且“z0，z1，…，z(k-1)”是“a0，a1，…，a(m-1)”和“b0，b1，…，b(n-1)”的一个最长公共子序列；
如果am!=bn，则若zk!=am，蕴涵“z0，z1，…，zk”是“a0，a1，…，a(m-1)”和“b0，b1，…，bn”的一个最长公共子序列；
如果am!=bn，则若zk!=bn，蕴涵“z0，z1，…，zk”是“a0，a1，…，am”和“b0，b1，…，b(n-1)”的一个最长公共子序列。
递归公式
第3节说了LCS的特征，我们可以发现，假设我需要求 a1 … am 和 b1 .. b(n-1)的LCS 和 a1 … a(m-1) 和 b1 .. bn的LCS，一定会递归地并且重复地把如a1… a(m-1) 与 b1 … b(n-1) 的 LCS 计算几次。所以我们需要一个数据结构来记录中间结果，避免重复计算。
假设我们用c[i,j]表示Xi 和 Yj 的LCS的长度（直接保存最长公共子序列的中间结果不现实，需要先借助LCS的长度）。其中X = {x1 … xm}，Y ={y1…yn}，Xi = {x1 … xi}，Yj={y1… yj}。可得递归公式如下：
计算LCS的长度
这里我不打算贴出相应的代码，只想把这个过程说明白。还是以s1={1,3,4,5,6,7,7,8},s2={3,5,7,4,8,6,7,8,2}为例。我们借用《算法导论》中的推导图：
图中的空白格子需要填上相应的数字（这个数字就是c[i,j]的定义，记录的LCS的长度值）。填的规则依据递归公式，简单来说：如果横竖（i,j）对应的两个元素相等，该格子的值 = c[i-1,j-1] + 1。如果不等，取c[i-1,j] 和 c[i,j-1]的最大值。首先初始化该表：
然后，一行一行地从上往下填：
S1的元素3 与 S2的元素3 相等，所以 c[2,1] = c[1,0] + 1。继续填充：
S1的元素3 与 S2的元素5 不等，c[2,2] =max(c[1,2],c[2,1])，图中c[1,2] 和 c[2,1] 背景色为浅黄色。继续填充：
中间几行填写规则不变，直接跳到最后一行：
至此，该表填完。根据性质，c[8,9] = S1 和 S2 的 LCS的长度，即为5。
构造LCS
本文S1和S2的最LCS并不是只有1个，本文并不是着重讲输出两个序列的所有LCS，只是介绍如何通过上表，输出其中一个LCS。
我们根据递归公式构建了上表，我们将从最后一个元素c[8][9]倒推出S1和S2的LCS。
c[8][9] = 5，且S1[8] != S2[9]，所以倒推回去，c[8][9]的值来源于c[8][8]的值(因为c[8][8] > c[7][9])。
c[8][8] = 5, 且S1[8] = S2[8], 所以倒推回去，c[8][8]的值来源于 c[7][7]。
以此类推，如果遇到S1[i] != S2[j] ，且c[i-1][j] = c[i][j-1] 这种存在分支的情况，这里请都选择一个方向（之后遇到这样的情况，也选择相同的方向）。
第一种结果为：
这就是倒推回去的路径，棕色方格为相等元素，即LCS = {3,4,6,7,8}，这是其中一个结果。
如果如果遇到S1[i] != S2[j] ，且c[i-1][j] = c[i][j-1] 这种存在分支的情况，选择另一个方向，会得到另一个结果。
即LCS ={3,5,7,7,8}。
关于时间复杂度
构建c[i][j]表需要Θ(mn)，输出1个LCS的序列需要Θ(m+n)。
最长公共子串：
dp[i][j]：表示X的i位与Y的j位之前的最大公共子串长度。
动态转移方程为：
如果xi == yj， 则 c[i][j] = c[i-1][j-1]+1
如果xi ! = yj, 那么c[i][j] = 0
http://url.cn/4E4G5LG
http://blog.csdn.net/hrn1216/article/details/51534607 （超级赞）
http://blog.csdn.net/rrrfff/article/details/7523437
http://www.2cto.com/kf/201705/638838.html
https://segmentfault.com/a/1190000007963594
