两道题都是动态规划问题，以下内容来自牛客网左神的课和书，我作为知识的搬运工，正在试图去领会程序的玄妙~~

题目：最长公共子序列
题目：最长公共子串

两个题目的不同点是一个是子序列，不要求连续，另一个是子串，要求是连续的。

第一题：

首先生成动态规划表，把两个字符串一个纵对应，一个横对应，就形成了一个矩阵，这里把str1纵对应，把str2横对应。

dp[i][j]的值代表：str1[0……i]和str2[0……j]这两个子串最长公共子序列的长度是多少。

我们在看动态规划问题时要先看一个重要的概念，就是dp[i][j]的值是代表什么意义，然后再看dp[i][j]的值是怎么决策的。

首先来看动态规划表的第一排，假设str1长度为N，str2长度为M，那么第一排是dp[0][0……M-1]代表str1[0]和str2[0……j]的最长公共子序列。

例如对于dp[0][0],就是看str1第一个字符和str2第一个字符是否一样，一样的话值就为1，否则为0。接下来dp[0][1]，if(str1[0]==str2[1])  dp[0][1]=1; 

根据dp[i][j]的含义：str1[0……i]和str2[0……j]两个子串最长公共子序列，所以当一行有一个位置为1，那么它后面的位置值都为1，str1[0]和str2[1]的最长公共子序列长度是1，那么str1[0]和str2[1,2],str[1,2……M-1]的最长公共子序列长度肯定都是1。同样的道理，可以得出第一列的dp值。

两侧搞定之后，我们要看中间位置要怎么决策。dp[i][j]可能来自dp[i][j-1]，str1[0……i]和str2[0……j]的最长公共子序列长度  >= str1[0……i]和str2[0……j-1]的最长公共子序列长度。

dp[i][j]有三种来源：

①.dp[i][j-1]

②.dp[i-1][j]

③.dp[i-1][j-1]+1：当str1[i]==str2[j]，这个字符可以作为公共序列的最后一个字符。

三种可能性选择一个最大的作为dp[i][j]的值。

dp[i][j]:     str1[0……i]                str2[0……j]

dp[i][j-1]:  str1[0……i]                str2[0……j-1]

已经有了动态规划表，接下来找最长子序列：

首先找最右下角的字符，如果右下角值大于它的左边和上边的值，说明str1[N-1]==str2[M-1]且当前字符是整体公共子序列的最后一个字符，这个决策时来自于左上角，当前字符应该被包含到最长子序列中，并且向左上方移动。

如果右下角值不比它的左边和上边大，此时这个字符就不应该被包含，因为这个决策可能来自于两个方向，与哪边相等就往哪边移动。

其实根据动态规划表生成结果的过程，就是利用这张表，来还原出整个决策路径。

第二题：

dp[i][j]：必须以str1[i]和str2[j]结尾的条件下，str1[0……i],str2[0……j]最长公共子串是多少。

①. str1[i]！=str2[j]，那么dp[i][j]=0.

②. str1[i] ==str2[j]， 那么dp[i][j]=dp[i-1][j-1]+1.

上述方法的空间复杂度是O(M*N)

这道题是能够做到空间复杂度O(1)的。

当前如果str1[i]！=str2[j]，那么直接dp[i][j]=0。也就是说，我在当前位置做决策，我只需要我左上角的值，也就是只与斜线上左上角的值有关。

对应关系图

这已经不代表dp矩阵了，只是str1和str2一种对应关系，想象成一张表，这种对应关系是，要么斜线是连续递增，要么就是突然间变成0，可以用一个变量把这条线上所有的值都算出来。

代码实现