本章涉及知识点

1、NP完全问题和其解题策略

2、TSP问题定义

3、案例引出

4、满足三角不等式的TSP模型

5、近似算法的解题步骤

6、图的存储结构

7、Prim最小生成树算法

8、树的遍历方法

9、哈密顿回路

10、python编程实现近似算法

11、结果分析

一、NP完全问题和其解题策略

一般的，我们将可以在多项式时间之内可求解的问题定义为易处理问题，而将需要超多项式时间才能求解的问题定义为难处理问题

对于一个规模为n的输入，在最坏的情况下(穷举法)求解的时间复杂度为

P类问题的时间复杂度

其中k是某个确定的常数，我们将这类问题定义为P类问题，直观上，P类问题是在确定性计算模型下的易解问题类

而NP问题就是在非确定性计算模型下的难处理问题

至今为止，人类还没有找到NP完全问题的多项式时间算法，并且没有人可以证明NP问题不存在多项式时间算法，这也成为了理论计算机科学领域中最深奥的开放问题之一，也是NP完全问题令人惊奇的性质

最深奥的开放问题之一

21世纪至今，人类对于任何一个NP完全问题，还没有多项式时间算法，因此，在面对NP问题时，通常有以下几种解题的策略

（1）只针对NP问题的特殊实例求解

（2）动态规划或者分支限界法

（3）概率论算法

（4）近似解法

（5）人工智能启发式算法

（6）神经网络算法

可以看到，无论使用什么上述策略解题，我们只能无限逼近其最优解，而不能保证得到通解，本章我们将使用近似解法来求解NP完全问题

二、TSP问题定义

旅行商问题(Traveling salesman problem)，简称为TSP问题，是1959年提出的数学规划问题，TSP属于典型的NP完全问题

TSP问题的语言描述为

在一个具有n个城市的完全图中，旅行者希望进行一次巡回旅行，或经历一次哈密顿回路，可以恰好访问每一个城市一次，并且最终回到出发城市。而这次巡回旅行的总费用为访问各个城市费用的总和，故旅行者同时希望整个行程的费用是最低的，求这个路线的排列策略？

TSP问题的实质可以抽象为

在一个带权重的完全无向图中，找到一个权值总和最小的哈密顿回路

TSP问题翻译为数学语言为，在N个城市的完全无向图G中

完全无向图G

其中每个城市之间的距离矩阵为

城市之间的距离

目标函数为

目标函数

需要求解的变量为w，w是使得目标函数达到最小值的一个排列

城市排列

且w的最后一项满足回到出发城市

回到出发城市

显然，TSP问题的组合解有N!种组合，随着城市数量N的规模增加，组合数将呈指数级别递增，故使用穷举法将会面临组合爆炸问题，因此TSP属于NP完全问题

三、案例引出

有如下含有8个顶点的完全无向图G，每一边有非负的费用值，试着找出G的最小费用的哈密顿回路？

案例无向图G

其中各个城市的坐标为

各个城市坐标

这个案例的组合数为8!=40320种组合

四、满足三角不等式的TSP模型和算法步骤

接下来，我们选择近似算法来求解案例TSP问题

我们从费用函数出发，费用函数也叫代价函数，指的是两个城市之间的费用指数或者代价程度的量化。在大多数的实际情况中，从一个地方u直接到另一个地方w，这个走法花费的代价总是最小的，而如果从u到w需要经过某个中转站v，则这种走法花费的代价却不可能比直接到达的走法花费的代价更小

将上述的理论转化为数学语言为

直接走法的代价小于中转走法

其中c是费用函数，这个方程说明了，直接从u->w花费的代价，要比从u->v->w花费的代价要小，我们称这个费用函数满足三角不等式

三角不等式的定义为：任意一个欧拉平面的三角形两边之和始终大于第三边，这是一个非常自然的不等式，其中欧拉平面上任意两点之间的欧式距离就满足三角不等式，

为此，我们只要设TSP中的费用函数为欧式距离，即可将TSP问题转化为满足三角不等式的TSP模型

五、近似算法的解题步骤

求解上述TSP模型的近似算法分为以下步骤

（1）选择G的任意一个顶点r作为根节点(出发/结束点)

（2）用Prim算法找出G的一棵以r为根的最小生成树T

（3）前序遍历访问树T，得到遍历顺序组成的顶点表L

（4）将r加到顶点表L的末尾，按L中顶点的次序组成哈密顿回路H

数学上已经证明，当费用函数满足三角不等式时，上述近似算法找出的哈密顿回路产生的总费用，不会超过最优回路的2倍

下面我们就按照近似算法的步骤来一步步求解案例TSP问题

六、图的存储结构

首先我们需要将图表示为我们熟悉的数据结构，图可以使用两种存储结构，分别是邻接链表和邻接矩阵

邻接链表：是一个由链表组成的一维数组，数组中每个元素都存储以每个顶点为表头的链表

邻接矩阵：以矩阵的形式存储图中所有顶点之间的关系

用链表表示图的关系，会显得数据结构较为复杂，但节省空间的开销，而用矩阵来表示图的关系就显得非常清晰，但空间开销较大，这里我们选择邻接矩阵来表示TSP案例中的无向图G

TSP案例中G的邻接矩阵

我们设欧式距离为费用函数，矩阵中的每一行代表G中每一个的顶点到其余各个顶点的费用(欧式距离)，如果出现到达不了或者自身到达自身的情况，我们用无穷大inf来填充表示不可达

至此，我们就定义好了G的存储结构，就可以很清晰的访问翻译G的每一个数据，如G[2][3]就翻译为：从第2个城市到达第3个城市的费用为4.24264096

至此，我们就完成近似算法的第一步

七、Prim最小生成树算法

我们知道，两点可以确定一条直线，则最小生成树的定义为：用n-1条边连接具有n个顶点的无向图G，并且使得边长的总和最小

接下来我们需要找到G中的这颗最小生成树T，从T的定义可知，T满足

（1）T有且只有n-1条边

（2）T的总长度达到最小值

这里我们使用Prim算法来生成T，Prim算法的策略步骤为

（1）设集合V是G中所有的顶点，集合U是G中已经走过的顶点，集合U-V是G中没有走过的顶点

（2）从G中的起点a开始遍历，将a加入到集合U中，并将a从集合U-V替出

（3）在集合U-V中剩余的n-1个顶点中寻找与集合U中的a关联，且权重最小的那条边的终点b，将b加入到集合U中，并将b从集合U-V替出

（4）同理，在集合U-V中剩余的n-2个顶点中寻找与集合U中的a或b关联，且权重最小的那条边的终点c，将c加入到集合U中，并将c从集合U-V替出

（5）重复步骤(4)，直到G中所有的顶点都加入到集合U，且集合U-V为空，则集合U中的顶点就构成了T

显然，Prim算法的策略属于贪心算法，因为每一步所加入的边，都必须是使得当前数T的总权重增加量最小的边

按照Prim算法，我们案例的最小生成树T为

案例最小生成树T

至此，我们就完成近似算法的第二步

八、树的遍历方法

找到T之后，接下来需要遍历T，我们知道，遍历一棵树有三种遍历规则，前序遍历、中序遍历和后序遍历

（1）前序遍历：访问根节点—>前序遍历左子树—>前序遍历右子树

（2）中序遍历：前序遍历左子树—>访问根节点—>前序遍历右子树

（3）后序遍历：前序遍历左子树—>前序遍历右子树—>访问根节点

上述案例中的T，以a为根节点开始前序遍历，遍历出的节点即组成顶点表L

案例前序遍历

至此，我们就完成近似算法的第三步

九、哈密顿回路

哈密顿回路的定义为：由指定的起点前往指定的终点，途中经过的城市有且只经过一次，所以一个无向图中含有若干个哈密顿回路

按照近似算法的最后一步，我们将T的根节点a加入到顶点表L的末尾，将L的顶点顺序依次连接，就得到T的哈密顿回路H

案例哈密顿回路

至此，我们就完成了近似算法的计算，找到了一个在G中从a出发，最后回到a，中间每个城市只经过一次的最小费用的行程走法，即计算出了目标函数的顶点排列w为

案例的顶点排列

按照这个排列，旅行线路的总费用x*=19.074

十、python编程实现近似算法

接下来我们将近似算法翻译为代码即可

费用函数（欧式距离）
找到代价最小的边
维护未走过的点的集合
prim算法
先序遍历图
生成哈密尔顿回路H
运行结果

十一、结果分析

从结果上可以看出，近似算法是解决TSP问题的一种有效方法，它可以在多项式时间内计算出一个近似解，来逼近真实的最优解，这个近似解尽量的逼近满足TSP的条件

（1）从开始点回到开始点，每个点都要经过且只经过一次

（2）行程的总费用达到最小值

案例中，实际的最优解(顶点组合)应该是

案例的实际最优解

实际的最优解的总费用为x=14.715

我们可以看到，近似算法找出的近似解的总费用x*，和实际最优解的总费用x满足比例

近似比

我们可以总结出以下几点近似算法求解TSP问题

（1）近似算法是求解TSP问题的一个渐进式算法

（2）近似解法求出的近似解和实际最优解的近似比不超过2，即w的总代价，在最优总代价的2倍之内

最后，要想真正的计算出案例的最优解，我们需要求解TSP问题的另一种算法—人工智能启发式算法，这个算法我们在下一讲中再来说明

案例代码见：求解TSP问题—近似算法